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数学 において、 スピン群（－ぐん、英：spin group） Spin(''n'') は特殊直交群 SO(''n'') の二重被覆であり、従って、以下に記すリー群の短完全系列が存在する。 : ''n'' > 2 に対し、Spin(''n'') は単連結であり、よって SO(''n'') の普遍被覆である。 従って、リー群 Spin(''n'') の次元は ''n''(''n'' − 1)/2 と特殊直交群と同じであり、リー環も特殊直交群のものと同じである。 Spin(''n'') は、クリフォード多元環 ''C''ℓ(''n'') の乗法可逆元からなる部分群として構成できる。 ''n'' 次元実ユークリッド空間 R''n'' の標準的正値 2 次形式に対するクリフォード多元環および偶クリフォード多元環を夫々 ''C''ℓ(''n'')、''C''ℓ0(''n'') と書く。 ''C''ℓ(''n'') の乗法可逆元全体 ''C''ℓ(''n'')× は乗法群になり、''C''ℓ0(''n'') の乗法可逆元全体 ''C''ℓ0(''n'')× はその部分群になる。 ''X''∈''C''ℓ(''n'')× に対して、 :''ψX'' : ''C''ℓ(''n'')∋ ''Y'' → ''XYX''−1∈''C''ℓ(''n'') は ''C''ℓ(''n'') の内部自己同型である。 一般クリフォード群 :''Γ''(''n'')=''X''∈''C''ℓ(''n'')×|''ψX''(R''n'')⊆R''n'' は、''C''ℓ(''n'')× の部分群で、特殊クリフォード群 :''Γ''0(''n'')=''Γ''(''n'')∩''C''ℓ0(''n'')× も部分群である。 ''C''ℓ(''n'') の主逆自己同型を ''J'' と書くとき、''X''∈''Γ''(''n'') のノルム :''ν''(''X'')=''XJ''(''X'') は ''C''ℓ(''n'') の中心の可逆元である。 準同型としてのノルム写像 ''ν'' の ''Γ''0(''n'') への制限の核 Ker(''ν''|''Γ''0(''n'')) は、Spin(''n'') になる。 == 偶然的な同型 == 低次元においては、古典リー群の「偶然的な同型」と呼ばれる同型が存在する。 例えば、低次元スピン群とある種の古典リー群の間に同型が存在する。 特に、 :Spin(1) = O(1) :Spin(2) = U(1) :Spin(3) = Sp(1) = SU(2) :Spin(4) = Sp(1) × Sp(1) :Spin(5) = Sp(2) :Spin(6) = SU(4) ''n'' = 7,8 においては、この様な同型の名残が見られるが、これより高次の ''n'' においては、この様な同型は完全になくなってしまう。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「スピン群」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Spin group 」があります。 スポンサード リンク
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