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微分幾何学において、向き付けられたリーマン多様体 (''M'', ''g'') 上のスピン構造(spin structure)とは、スピノルの考え方から発生した随伴(spinor bundle)を定義することができることである。 スピン構造は、数理物理学や、特に場の量子論へ広く応用され、そこでは電荷を持たないフェルミオンの定義する本質的な要素である。スピン構造は、微分幾何学や代数トポロジーやK-理論でも、純粋に数学的興味ある対象であり、(spin geometry)の基礎を形成する。 == はじめに == 幾何学と場の理論では、数学者たちは与えられたリーマン多様体 (M,g) にスピノルを持つことがあるか否かを問う。この問題には、M がスピン構造を持つことを要求する。スピン構造の存在するためには、本質的なトポロジー的障害があるので、常に存在が可能ではない。スピン構造が存在することと、M の第二スティーフェル・ホイットニー類 w2(M) ∈ H2(M, Z2) が 0 となることとは同値である。さらに、w2(M) = 0 であれば、M 上のスピン構造の同型類の集合の上へ、自由に推移的に H1(M, Z2) が作用する。M を向き付け可能とすると、第一スティーフェル・ホイットニー類 w1(M) ∈ H1(M, Z2) も 0 である（多様体 M のスティーフェル・ホイットニー類 wi(M) ∈ Hi(M, Z2) は、接バンドル TM のスティーフェル・ホイットニー類として定義される）。 M 上のスピノルのバンドル πS: S → M は、複素ベクトルバンドルであり、M のスピン標構上の対応する主バンドル πP: P → M とスピノルの空間 Δn の構造群 Spin(n) のスピン表現を持っている。 バンドル S を M 上の与えられたスピン構造の(spinor bundle)と呼ぶ。 多様体のスピン構造の詳しい定義は、ファイバーバンドルの概念を導入して初めて可能である。(1956) は、向き付けられたリーマン多様体のスピン構造のトポロジカルな障害を発見し、(1968) は向き付け不可能な擬リーマン多様体へ、この結果を拡張した。
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