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セルバーグ跡公式 (Selberg trace formula) とは、 で導入された、二乗可積分函数の空間 ''L''2(''G''/Γ) 上の ''G'' のユニタリ表現の指標の表現である。ここに ''G'' はリー群で Γ は余有限 (cofinite) な離散群とする。指標は、''G'' 上のある函数のトレースにより与えられる。 Γ がな場合とは、離散的な和へ表現が分解するときのことを言う。ここで、跡公式とは、有限群の誘導表現の指標の(Frobenius formula)の拡張である。Γ が実数 ''G''=R の余コンパクト部分群 Z のときには、セルバーグ跡公式は本質的にである。 G/Γ がコンパクトでないときは、アイゼンシュタイン級数を使い記述された連続スペクトルとなり、より難しくなる。セルバーグは、G が群 SL2(R) の非コンパクトの場合に結果をもたらし、さらに高いランクの群への拡張が(Arthur-Selberg trace formula)である。 Γ がリーマン面の基本群のとき、セルバーグ跡公式は、リーマン面の測地線の長さを意味する幾何学的データの項にラプラシアンのような微分作用素のスペクトルを書き表す。この場合にはセルバーグ跡公式は、リーマンの明示公式に似た形となり、素数のリーマンゼータ函数のゼロ点に関係し、ゼータのゼロ点はラプラシアンの固有値に対応し、素数は測地線に対応する。この類似に動機を得て、セルバーグはリーマン面のセルバーグゼータ函数を導入し、解析的な性質は、このセルバーグ跡公式にエンコードされる。 ==初期の歴史== S の場合は、特に興味をもたれている場合である。1956年にアトル・セルバーグ(Atle Selberg)が最初に論文を出したときは、ラプラス微分作用素とそのベキがこの場合を扱った。ラプラシアンのベキのトレースは、セルバーグゼータ函数を使い定義することができる。この場合の興味は、得られた公式と素数の理論の L-函数の明示公式との関係である。そこでは S 上の閉じた測地線が素数の役割を担う。 同時に、ヘッケ作用素のトレースも、セルバーグと(Martin Eichler)のアイヒラー・セルバーグ跡公式(Eichler-Selberg trace formula)と関連していて、ヘッケ作用素は与えられたウェイトのモジュラー群のに対しカスプ形式のベクトル空間の上に作用する。ここに、同一視する作用素のトレースは、ベクトル空間の次元、すなわち、与えられたモジュラー形式の空間の次元であり、リーマン・ロッホの定理により伝統的な方法の計算で求めることができる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「セルバーグ跡公式」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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