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数学や理論物理学において、 ゼータ函数正規化() とは、物理学でのや、発散級数と言われる方法である。これによって、発散する和や積に対して有限の値を対応させ、特に、自己随伴作用素の行列式やトレースを定義することに使うことができる．現在は物理学の中の問題に適用することが行われているが、元来は、数論におけるうまく定義できない和について、実際の意味を与えようとすることに原点がある．なお、物理学では「正規化」ではなく「正則化」と呼ぶが、この記事中では物理学に関する記述でも「正規化」で統一する。また、「自己随伴作用素」という用語を使用した。通常は「自己共役作用素」と呼ぶが、問題の作用素は共役だけでなく転置共役を意味する「自己随伴作用素」という用語を使用した。 ==定義== 発散する可能性を持つ級数 a1 + a2 + .... の和を定義するのに、ゼータ函数正規化と呼ばれる和を取る方法がいくつかある。 一つの方法として、（無限級数の）ゼータ正規化された和を、ζA(−1) が定義できるならばその値で定義する．ここで、ゼータ函数は、Re(s) が大きな数に対して次の和が収束するならばその値で定義し、そうでない（発散する）場合は解析接続することで定義する。 : an = n の場合には、このゼータ函数は通常のリーマンゼータ函数となり、この方法はオイラーによって級数 1+2+3+4+… の｢和｣を ζ(−1) = −1/12 として求めることに使われた。他の s の値に対しても、発散する和を ζ(0)=1 + 1 + 1 + 1 + ... = -1/2, ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0 と計算でき、一般的な場合は、Bk をベルヌーイ数(Bernoulli number)として、 : と表すことができる。 は平坦な空間の場合には、その場合はラプラシアンの固有値が知られている場合が多いが、分配函数に対応するゼータ函数が明確に計算できることを示した。温度 T=β-1 の平坦な時空で体積 V を持つ大きな箱の中のスカラー場 φ を考える。分配函数は、箱の端ではゼロとなり、τ について周期 β である、τ=it という変換をして得られるユークリッド空間の上のすべての場 φ を渡る経路積分によって得られる。この状況下では、彼は分配函数から場 φ の輻射のエネルギー、エントロピーと圧力を計算した。平坦な空間の場合は、物理量に現れる固有値が一般には知られているが、一方、曲がった空間ではいつも一般的に知られているとは限らない．従って、漸近的な方法が（問題を解くために）必要である。 別な方法としては、発散する可能性のある無限積 a1a2.... を、 として定義する方法がある。 ではこの方法を使い、正の値を固有値 a1, a2, ...., として持つ自己随伴作用素の行列式を定義することに使われた。（これのリーマン多様体への応用としてはラプラシアンとなる。）また、この場合にはゼータ函数は、形式的に A−s のトレースとなる。 は、もし A がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンであれば、ここで定義したゼータ函数であるミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数は収束し、全複素平面へ有理型函数として解析接続されることを示した。セーレイ はこの事実をコンパクトリーマン多様体上の A のへ拡張した。従って、そのような作用素に対しゼータ函数正規化を使い、行列式を定義することができる。解析的トーションを参照。 はこのアイデアを使い、曲がった時空での経路積分を評価できることを示唆した。彼がゼータ函数を研究したのは、逆メリン変換を使い、曲がった時空であるブラックホールの地平線上やドジッター時空という背景場での熱力学的な重力や量子化された物質の分配函数を、熱方程式の核のトレースへ関係させることで計算するためであった。
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