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チャーン・サイモンズ理論（）は3次元のシュワルツタイプの位相場理論であり、エドワード・ウィッテンによって発展した。この名前は作用がチャーン・サイモンズ 3-形式を積分した値に比例するからである。 凝縮系物性論では、チャーン・サイモンズ理論は状態のとして表される。数学では、ジョーンズ多項式のように結び目不変量や の不変量の計算に使われている。 特に、チャーン・サイモンズ理論は、理論のゲージ群と呼ばれる単純リー群 ''G'' と理論のレベルと呼ばれる作用にかける定数の数値により特徴付けられる。作用はゲージ変換に依存しているが、量子場理論の分配函数として、レベルが整数であり、ゲージが3-次元時空の全ての境界でゼロとなるときにうまく定義される。 ==古典的理論== ===数学的起源=== 1940年代に陳省身とアンドレ・ヴェイユは滑らかな多様体 ''M'' の大域的な曲がり方の性質をド・ラームコホモロジーとして表すことを研究した（チャーン・ヴェイユ理論）。この理論は微分幾何学の特性類の重要なステップである。''M'' 上の平坦主 ''G''-束 ''P'' が与えられると、チャーン・ヴェイユ準同型と呼ばれる準同型が一意的に存在する。その準同型は、g（''G'' のリー代数）上の ''G''-随伴不変多項式の代数からド・ラームコホモロジー への準同型である。もし不変多項式が斉次多項式であれば、任意の閉形式 ''ω'' の ''k'' 形式は ''ω'' の随伴曲率形式 Ω の 2''k'' 形式として具体的に書くことができる。 1974年、チャーンとは、次を満たす 2''k'' − 1 形式 ''df''(''ω'') を具体的に構成した。 :. ここに ''T'' はチャーン・ヴェイユ準同型である。この微分形式をチャーン・サイモンズ形式という。もし ''df''(''ω'') が閉形式であれば、''M'' 上の 2k−1 次元サイクル ''C'' に沿って、上の式を積分することができる。 :. この不変量をチャーン・サイモンズ不変量という。チャーンとサイモンズの論文のイントロダクションに指摘されているように、チャーン・サイモンズ不変量 ''CS''(''M'') は、純粋な組み合わせ的な定式化では決定できない境界項である。この不変量はまた、第一ポントリャーギン数 と正規直交バンドル ''P'' の切断である ''s''(''M'') により : と表される。さらに、チャーン・サイモンズ項は、アティヤ、パト－ディ、シンガーの定義したエータ不変量としても表される。 ゲージ不変性と計量不変性は、チャーン・ヴェイユ理論の随伴リー群の作用の下での不変性と見ることができる。物理学の場の理論の作用積分（経路積分）は、チャーン・サイモンズ形式のラグランジアンとみなせる。またウィルソンループは ''M'' 上のベクトルバンドルのホロノミーとみなせる。これらは、何故、チャーン・サイモンズ理論が密接に位相場理論に関係しているかを説明する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「チャーン・サイモンズ理論」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Chern-Simons theory 」があります。 スポンサード リンク
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