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集合論においてツォルンの補題（ツォルンのほだい、）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。 ; 命題 (Zorn の補題) : 半順序集合''P''は、その全ての鎖(つまり、全順序部分集合)が''P''に上界を持つとする。このとき、''P''は少なくともひとつの極大元を持つ。 この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。 ==準備== この補題で使われている用語の定義は以下のとおりである。(''P'', ≤) を半順序集合とする。部分集合 ''T'' が 全順序 であるとは、''T''の各元 ''s'' と ''t'' について、''s'' ≤ ''t'' または ''t'' ≤ ''s'' が必ず成り立つことを言う。''T'' が ''P'' に上界 ''u'' を持つとは、''T'' の元 ''t'' がつねに ''t'' ≤ ''u'' を満たすことをいう。注意として、''u'' は ''P'' の元であればよく、''T'' の元である必要はない。''P'' の元 ''m'' が 極大元 であるとは、''P'' の元 ''x'' で、 ''m'' < ''x'' となるものは存在しないことをいう。 ''P''が空集合でないことを明言する必要はない。というのも、空集合は自明な鎖であり、上界を持つ必要がある。このことから ''P'' が少なくともひとつの元を持つことが分かる。よって、以下の同値な定式化も可能である。 ; 命題 : ''P''を空でない半順序集合で、その任意の空でない鎖は ''P'' に上界を持つとする。このとき ''P'' は少なくともひとつ極大元を持つ。 これらの違いは微妙なものであるが、ツォルンの補題を使った証明において上界を生成するある種の和集合を考えることがあり、その際に空な鎖は空集合の和集合になり、間違いやすい境界値となる。 ZF集合論において、ツォルンの補題は整列可能定理や選択公理と同値である。すなわち、ひとつを仮定すると残りを証明することができる。この補題は関数解析学においてはハーン・バナッハの定理を、線型代数においては基底の存在を、位相空間論においては「任意のコンパクト集合の直積はまたコンパクトである」というチコノフの定理を、そして代数学においては全てのゼロでない環は極大イデアルを持ち、任意の体における代数的閉包の存在をそれぞれ証明する際に使われる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ツォルンの補題」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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