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数学におけるテンソルの現代的な取扱いは、テンソル空間（テンソルくうかん、）と呼ばれる抽象代数学的な対象の元として、ある種の多重線型性によって表される。よく知られたテンソルの古典的な性質の数々はそれらの定義から導かれ、テンソルに対する操作に関する規則は線型代数学から多重線型代数学への理論の拡張をもたらす。 このような座標に依らない記述法は、テンソルが自然に現れる抽象代数学およびホモロジー代数においても重々用いられる。 一方、物理学において慣例的に用いられる座標に基づくテンソルの添字表記は、テンソル空間の元 を、台となるベクトル空間 の基底とその双対空間 の双対基底を用いて : と展開するときの、スカラー成分 : として理解することができる（擬テンソルなどはこの構成に含まれず一般テンソル空間を考える必要がある）。 == 定義 == 共通の体 上のベクトル空間の有限集合 が与えられたとき、それらのテンソル積 はふたたび 上のベクトル空間であり、またその元はテンソルと呼ばれる。特に一種類のベクトル空間 から作られるテンソル積空間 : を 上のテンソル空間と呼び、その元（ベクトル）をベクトル空間 上のテンソルと言う。ここに は の双対空間である。 この積において が 個、 が 個であるとき、その元であるテンソルは -型または -階反変・-階共変であるといい、また をそのテンソルの階数または (order, degree) という〔テンソルの order と後述する rank を混同してはならない。〕。特に-階テンソルはスカラー（ の元）であり、-階反変テンソルは に属するベクトル、-階共変テンソルは に属する一次形式のことである（それがゆえに、-階テンソルを反変ベクトルまたは共変ベクトルとしばしば呼ぶ）。 上の-型テンソル全体の成す空間を : と書いて、-型テンソル空間と呼ぶ。-型テンソル空間 は自然な仕方で から への線型写像全体の成す空間 に同型となり、また 上の双線型形式 には自然な仕方で付随する計量テンソル（あるいは少々紛らわしいが単に計量もしくは内積）と呼ばれる -型テンソル が対応する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「テンソル空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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