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数学において、ディリクレの単数定理(Dirichlet's unit theorem)は、ペーター・グスタフ・ディリクレ(Peter Gustav Dirichlet)による代数的整数論の基本的結果である。ディリクレの単数定理は、代数体 K の代数的整数の環 OK の単数群のランク(rank)を決定する。レギュレータ(regulator)(もしくは、単数基準ともいう)は、どれくらい単数の「密度」があるかを決める正の実数である。 ==ディリクレの単数定理== ディリクレの単数定理は、単数群が有限生成であり、ランク(rank)(乗法的に独立な元の最大数)が :r = r1 + r2 − 1 に等しいことを言っている。ここに r1 は、K の実埋め込みの数で、r2 は複素埋め込みの共役ペアの数である。この r1 と r2 の特徴付けは、複素数体への K の埋め込みが次数 n = : Q と同じだけあるという考え方を基礎としている。これらの埋め込みは、実数への埋め込みか、または、複素共役のペアとなる埋め込みのいずれかであるので、 :n = r1 + 2r2 となる。 K が Q 上のガロア拡大であれば、r1 と r2 のいずれかは 0 でないが、双方とも 0 でないことはないことに注意する。
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