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ディリクレ積分 : ミニ英和和英辞書
ディリクレ積分[ぶん, ふん]
=====================================
〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

: [せき]
 【名詞】 1. (gen) (math) product 
積分 : [せきぶん]
 (n) integral
: [ぶん, ふん]
  1. (n,n-suf,pref) (1) part 2. segment 3. share 4. ration 5. (2) rate 6. (3) degree 7. one's lot 8. one's status 9. relation 10. duty 1 1. kind 12. lot 13. (4) in proportion to 14. just as much as 1

ディリクレ積分 : ウィキペディア日本語版
ディリクレ積分[ぶん, ふん]

ディリクレ積分(ディリクレせきぶん、)とは広義積分
:\int_0^\frac\,dx
のことである。これは /2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分の意味では可積分でない。
この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。
==証明==

''f''(''z'') = ''e''''iz''/''z'' の積分を考える。0 < ''r'' < ''R'' をとり、図のように経路 ''C''''r'', ''C''''R'' を定める(赤領域を左に見るように進む向きを正とする)。''f'' は赤領域で正則であるから、コーシーの積分定理により
:\int_\frac\,dz + \int_^ \frac\,dx
+ \int_ \frac\,dz + \int_r^R \frac\,dx = 0 \qquad \cdots(1)
となる。
まず、左辺第2項と第4項はオイラーの公式により
:\begin\int_^\dfracdx+\int_r^R\dfracdx
&=-\int_^\dfracdx+\int_r^R\dfracdx\\
&=2i\int_r^R\dfracdx.\ \ \cdots(2)
\end
次に、置換 z=Re^ により、
:\begin\left|\int_f(z)\,dz\right|
&=\left|\int_0^f(Re^)iRe^dt\right|\\
&\le \int_0^\pi |f(Re^)| R \, dt
= \int_0^e^dt
= 2\int_0^e^dt\\
&\leq 2\int_0^e^dt
\quad \left(\because\ \ t \in \left\ \Longrightarrow\ \dfract \leq \sin t\right)\\
&= \frac(1-e^) \to 0\quad (R \to \infty).\ \ \cdots(3)
\end
また、 z \neq 0 のとき、指数関数 e^z の定義により、
:\frac=\frac\sum_^\frac
=\frac+\sum_^\dfracz^.
g(z):=\sum_^\fracz^ とおくと、
:\int_\dfracdz=\int_\dfracdz+\int_g(z)dz.
ここで、置換 z=re^ により、
:\int_\dfracdz=\int_^0\dfracire^dt=i\int_^0dt=-i\pi.
次に、 \int_g(z)dz \to 0\ \ (r \to 0) を示そう。''g'' は整関数、とくにコンパクト集合 K:=\ で連続だから、ワイエルシュトラスの最大値定理を使うと、
:^M>0,\ ^z \in K : |g(z)| \leq M.
r を十分小さくとれば、経路 C_r (の像)は ''K'' に含まれるから、
:\left|\int_g(z)dz\right| \leq \int_|g(z)||dz| \leq M\int_|dz|=M\pi r \to 0\ \ (r \to 0).\ \ \cdots(4)
以上より、(1) において r \to 0,\ R \to \infty とすれば、(2)~(4)より
:0+2i\int_0^\dfracdx-i\pi=0
すなわち
:\int_0^\dfracdx=\dfrac
が従う。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)
ウィキペディアで「ディリクレ積分」の詳細全文を読む




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