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数学において、集合''A'' がデデキント無限（Dedekind-infinite、ドイツ人数学者リヒャルト・デデキントにちなんでつけられた）である、またはデデキント無限集合であるとは、''A'' と同数（equinumerous）であるような''A'' の真部分集合''B'' が存在することである。それはつまり、''A'' と''A'' の真部分集合''B'' の間に全単射が存在するということである。集合 Aがデデキント有限であるとは、デデキント無限でないということである。 デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない。選択公理を用いないその他の有限集合や無限集合の定義が存在する。 == 通常の無限集合の定義との比較 == デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう: : 集合''A'' が無限であるとは、ある自然数''n'' についてという形の集合である有限順序数と''A'' の間に全単射が存在しないことである。 無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。 19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性の証明は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「デデキント無限」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Dedekind-infinite set 」があります。 スポンサード リンク
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