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数学では、代数体 K の上で定義された代数多様体 V のハッセ・ヴェイユのゼータ函数(Hasse–Weil zeta function)は、2つの最も重要な L-函数の一つである。そのようなL-函数は、大域的(global)と言われ、局所ゼータ函数の項のオイラー積として定義できる。ハッセ・ヴェイユゼータ函数は、大域的L-函数の 2つの大きなクラスの一つで、他は保型表現に付随する L-函数である。予想としては、一つの本質的なタイプの大域的 L-函数が存在し、2つの表し方をもっているのではないかとなる（代数多様体から来るゼータと保型表現から来るゼータ）。このことは谷山志村予想の非常に大きな一般化であり、非常に深い最近の数論の結果である()。 オイラー積の有限個の要素を除外したハッセ・ヴェイユゼータ函数の記述は比較的単純である。これはヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)とアンドレ・ヴェイユ(André Weil)が始めて示唆し、V が一つの点からなり、リーマンゼータ函数の場合に動機を得たものである。 K を有理数体 Q で ''V'' が非特異射影多様体のとき、ほとんど全ての素数 ''p'' に対し、''p'' を法として ''V'' の還元を考える。''p'' 個の元を持つ有限体 F''p'' 上の代数多様体 ''Vp'' はまさに ''V'' の方程式を還元することにより得られる。繰り返すが、ほとんど全ての ''p'' に対して、''Vp'' は非特異となる。 : を複素変数 ''s'' のディリクレ級数として定義すると、局所ゼータ函数 : の無限積となる。 すると、''Z''(''s'') は、定義に従い、有限個の の有理函数による乗法のみを除外して well-defined である。 この有理函数による乗法の不定性は比較的実害がなく、どこでも有理型函数として解析接続することができるので、Z(s) の性質がこの不定性に依存しないということが成り立つ。特に、Z(s) の函数等式の完全な形は複素平面内の垂直の線を反映し、函数等式の存在に影響する失われた(missing)要素への依存はほとんどない。 さらに精密な定義がエタールコホモロジーの発展を可能とした。これは失われた悪い還元とは何かということを整然と説明する。分岐理論で理解される一般原理に従うと、悪い素数には導手の理論のような良い情報を持っている。(good reduction)であるための(Ogg–Néron–Shafarevich criterion)とエタールコホモロジー論で言われていることは、全ての素数 p に対し、V のエタールコホモロジー上のガロア表現 ρ は不分岐であるといとが、良い還元の意味である。このため、局所ゼータ函数の定義は、 : の特性多項式の項で再現できる。ここの Frob(p) は p に対するフロベニウス元である。分岐する p で起きていることは、ρ が p に対する惰性群 I(p) 上、非自明である。これらの素数では、定義は「正しい」はずで、惰性群が(trivial representation)として作用するような表現 ρ の最も大きな商である。この精密化では、Z(s) の定義はほとんど全ての p から全ての p へ、オイラー積が整合性をもつようにうまくアップグレードすることができる。函数等式の結果は1960年代後半にセール(Serre)とドリーニュ(Deligne)により完成され、函数等式自体は一般的に証明されることとなった。 ==例：Q上の楕円曲線== E を(conductor) N のQ上の楕円曲線とすると、E は N を割らない全ての p で良い還元を持つので、N をちょうど割る素数 p （つまり、p は N を割るが、p2 は割らないような、このことは p || N と書く）に対し(multiplicative reduction)を持ち、どこでも（つまり p2 が N を割るような素数）(additive reduction)を持つ。E のハッセ・ヴェイユのゼータ函数は次の形となる。 : ここに、ζ(s) は通常のリーマンゼータ函数であり、L(s, E) を E/Q の L-函数と呼び、次の形となる。〔Section C.16 of 〕 : ここに、与えられた素数 p に対し、 : であり、良い還元の場合は、ap は p + 1 かまたは、p − 1（p は E mod p の点の数）であり、乗法的還元の場合は、ap は E が p で分岐する乗法的還元か不分岐な乗法的還元かに従い ±1 となる。
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