|
===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 定理 ： [ていり] 【名詞】 1. theorem 2. proposition ・ 理 ： [り] 【名詞】 1. reason
函数解析学および関連する数学の分野において、バナッハ＝アラオグルの定理（バナッハ＝アラオグルのていり、）あるいはアラオグルの定理として知られる定理は、ノルム線型空間の双対空間の中の閉単位球はにおいてコンパクトであることを述べたものである〔, section 3.15.〕。その有名な一つの証明では、弱 *位相を備える単位球を、積位相を備えるコンパクト集合のデカルト積の閉部分集合として同一視するものである。チコノフの定理の帰結として、この積とその内部の単位球はコンパクトとなる。 可分なノルム線型空間に対するこの定理の証明は、1932年にステファン・バナフによって発表された。また一般の場合に対する初めての証明は1940年に数学者によって発表された。 バナッハ＝アラオグルの定理はチコノフの定理を介して証明されるため、特に選択公理のような の枠組みに依るものである。多くの函数解析学の主流もまた ZFC に依っている。しかしこの定理は、可分の場合には選択公理には依らない（後述）。この場合は実際、建設的な証明を行うことが出来る。この定理は、観測可能量の代数の状態の集合を表現するときに物理学的に応用されるものである。すなわち、任意の状態はいわゆる純粋状態の凸線型結合として表現される。 == 定理 == X をノルム空間とする。するとその双対 X * もまた（作用素ノルムを備える）ノルム空間である。 X * の閉単位球は弱 * 位相に関してコンパクトである（たとえば記事「線型位相空間」の節「双対空間」を参照）。 これは同一の空間上に異なる位相を考える動機となる。なぜならば、対照的に、ノルム位相について単位球がコンパクトであるための必要十分条件は、その空間が有限次元であることだからである（を参照）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「バナッハ＝アラオグルの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
|