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数学において、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想 (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) は数論の分野における未解決問題である。略してBSD予想 (BSD conjecture) と呼ばれる。それは最もチャレンジングな数学の問題の 1 つであると広く認められている。予想はクレイ数学研究所によってリストされた 7 つのミレニアム懸賞問題の 1 つとして選ばれ、最初の正しい証明に対して100万ドルの懸賞金が約束されている〔Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture at Clay Mathematics Institute〕。予想は機械計算の助けを借りて1960年代の前半に予想を立てた数学者ブライアン・バーチ (Bryan Birch) とピーター・スウィンナートン＝ダイアー (Peter Swinnerton-Dyer) にちなんで名づけられている。、予想の特別な場合のみ正しいと証明されている。 予想は代数体 ''K'' 上の楕円曲線 ''E'' に伴う数論的データを ''E'' の ハッセ・ヴェイユの ''L''-関数 ''L''(''E'', ''s'') の ''s'' = 1 における振る舞いに関係づける。より具体的には、''E'' の点のなすアーベル群 ''E''(''K'') のランクは ''L''(''E'', ''s'') の ''s'' = 1 における零点の位数であり、''s'' = 1 における ''L''(''E'', ''s'') のテイラー展開における最初の 0 でない係数は ''K'' 上の ''E'' に付属しているより精密な数論的データによって与えられる、ということが予想されている 。 == 概要 == 楕円曲線上の有理点（''x'' 座標も ''y'' 座標も有理数になる点）は、加法 '+' を定義することができる。楕円曲線 ''E'' 上の二点 ''P'' = (''x''1, ''y''1), ''Q'' = (''x''2, ''y''2) に対し、直線 ''PQ'' と ''E'' との交点と ''x'' 軸に関して対称な位置にある点 (''x''3, ''y''3)を ''P'' + ''Q'' で表される点と定義する。（詳細は楕円曲線の記事を参照） このような演算により、有理点全体は無限遠点を付加することで、アーベル群をなすが、さらに有限生成アーベル群になることが証明されている。 アーベル群の基本定理から、この有限生成アーベル群は、無限巡回群 Z と素数べきの位数を持つ巡回群 Z / ''m''1Z, ..., Z / ''m''''t''Z の直積 : に同型であることが知られている。この ''r'' のことを楕円曲線 ''E'' の階数とよぶ。 楕円曲線 ''E'' の ''L'' 関数 ''L''(''E'', ''s'')を、''s'' = 1 の周りでテイラー展開すると次のように書けたとする。 :''L''(''E'', ''s'') = (係数) × (''s'' − 1) の ''r'' 乗 + ∑ このとき、''r'' はこの楕円曲線の階数になるというのがBSD予想である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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