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数学において、パラコンパクト空間 (paracompact space) はすべての開被覆がな開を持つような位相空間である。これらの空間は によって導入された。すべてのコンパクト空間はパラコンパクトである。すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は正規であり、ハウスドルフ空間がパラコンパクトであることと、任意の開被覆に対しそれに従属するを持つことは同値である。パラコンパクト空間の定義にハウスドルフであることを含める場合もある。 パラコンパクト空間のすべての閉部分空間はパラコンパクトである。ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は常に閉であるが、これはパラコンパクト部分集合に対しては正しくない。そのすべての部分空間がパラコンパクト空間であるような空間は遺伝的パラコンパクト (''hereditarily paracompact'') と呼ばれる。これはすべての開部分空間がパラコンパクトであると要求することと同値である。 チコノフの定理（コンパクト位相空間の任意の集まりの積はコンパクトである）はパラコンパクト空間には一般化されない、つまり、パラコンパクト空間の積はパラコンパクトであるとは限らない。しかしながら、パラコンパクト空間とコンパクト空間の積はつねにパラコンパクトである。 すべての距離空間はパラコンパクトである。位相空間が距離化可能であることとパラコンパクトかつ局所距離化可能なハウスドルフ空間であることは同値である。 ==パラコンパクト性== 集合 ''X'' の''被覆''は ''X'' の部分集合の集まりであってその和集合が ''X'' を含むようなものである。記号で書けば、U = が ''X'' の部分集合の添え字づけられた族であれば、U が ''X'' の被覆であるとは、 : 位相空間 ''X'' の被覆が''開''であるとは、すべてのその元が開集合であるということである。空間 ''X'' の被覆の''細分''は同じ空間の新しい被覆であって新しい被覆のすべての集合が古い被覆のある集合の部分集合であるようなものである。記号で書けば、被覆 V = が被覆 U = の細分であることと V の任意の ''V''β に対して U のある ''U''α が存在して ''V''β が ''U''α に含まれることが同値である。 空間 ''X'' の開被覆が局所有限''であるとは、空間の全ての点が被覆の有限個の集合としか交わらない近傍を持つということである。記号で書けば、U = が局所有限であることと、任意の ''x'' ∈ ''X'' に対して ''x'' のある近傍 ''V''(''x'') が存在して集合 : が有限であることが同値である。それで位相空間 ''X'' はすべての開被覆が局所有限な開細分を持つときにパラコンパクトであると言われる。 パラコンパクトであると言われる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「パラコンパクト空間」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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