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数学においてパンルヴェ方程式（パンルヴェほうていしき、）は、（動く特異点が極であるという）パンルヴェ性 を備えた特定の種類の二階非線型の複素常微分方程式である。パンルヴェ方程式は一般には初等関数の範囲で解くことはできず、パンルヴェ方程式の解としてパンルヴェ超越関数 と呼ばれる複素変数の特殊関数が定義される。名の由来は後にフランス首相の座に就くポール・パンルヴェの著した論文 から。 == 歴史 == パンルヴェ超越関数の起源は、微分方程式の解としてしばしば現れる特殊関数の研究および、線型微分方程式の等モノドロミー変形の研究にある。たとえば楕円関数などは特殊関数のクラスのなかでも特に有用なものの一つである。パンルヴェ超越関数は、方程式の特異点がパンルヴェ性を満たす二階常微分方程式の解として定められる。ここで、パンルヴェ性とは「動く特異点は極に限る」というものである。線型常微分方程式はつねにパンルヴェ性を持つが、非線型方程式でパンルヴェ性を持つものは稀である。アンリ・ポアンカレとはパンルヴェ性を持つ一階方程式が、必ずワイエルシュトラス方程式かリッカチ方程式に変形できることを示した（これらの方程式は求積法と既知の特殊関数によって明示的に解ける）。エミール・ピカールは一階よりも高階の動く真性特異点をもつ方程式に着目して、パンルヴェ性をもつ新たな例を探ろうとして失敗に終わっている（二階より高階の方程式では、解が動く自然境界を持ち得る）。1900年頃、ポール・パンルヴェは動く特異点を持たない二階微分方程式を研究していて、そのような方程式で有理関数 ''R'' を用いて : の形に表されるものは、適当な変形を加える違いを除いて50個の「標準形」に直すことができることを発見した（一覧表が にある）。さらに では、先の50の「標準形」のうちの44個は既知の関数を用いて解けるという意味で削減できることが判明し、解として新たな特殊関数の導入を必要とする方程式として残ったのはわずかに6個であった（実はパンルヴェの成果にはいくつか計算間違いがあり、のちに弟子のガンビエとフックスによって修正されている）。以後長らくの間、これら6個の方程式が一般の値のパラメータに対してこれ以上簡約不能であるか（特殊な値のパラメータについては、方程式が簡約化されてしまう場合もある。後述）ということが物議を醸す未解決問題であったが、最終的には および によって解決を見た。これら6つの非線型二階方程式はパンルヴェ方程式と呼ばれ、それらの解はパンルヴェ超越関数と呼ばれる。 パンルヴェが見逃していた最も一般の形の第六方程式は、1905年に（ラザラス・フックスの息子）リチャード・フックスによって、モノドロミーを保つ変形のもとで P1 上に4つの正常特異点をもつ二階のフックス型方程式の特異性によって満たされる微分方程式として発見された。これは でパンルヴェ方程式のリストに加えられている。 ではパンルヴェの成果をより高階の方程式に対して拡張する試みがなされ、パンルヴェ性を満たす三階方程式がいくつか発見されている。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「パンルヴェ方程式」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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