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数学、とくに代数学の分野において、ヒルベルト–ポアンカレ級数 (Hilbert–Poincaré series)（ヒルベルト級数 (Hilbert series) の名前でも知られている）は、David Hilbert と Henri Poincaré にちなんで名づけられているが、代数的構造（構造全体の次元はしばしば無限である）の文脈への次元の概念の適用である。ヒルベルト–ポアンカレ級数は一不定元、''t'' としよう、の形式的冪級数であり、''t''''n'' の係数が ''n'' 次斉次元の部分構造の次元（あるいはランク）を与えるようなものである。ヒルベルト–ポアンカレ級数はヒルベルト多項式が存在するならばこれと深い関連がある。しかしながら、ヒルベルト–ポアンカレ級数はすべての次数においてランクを記述するが、ヒルベルト多項式は有限個を除くすべての次数でしか記述せず、したがって与えてくれる情報が少ない。とくに、ヒルベルト–ポアンカレ級数はヒルベルト多項式が存在するときでさえ後者から導くことができない。良いケースでは、ヒルベルト–ポアンカレ級数は変数 ''t'' の有理関数として表現できる。 == 定義 == ''K'' を体とし、 を N でとする、ただし次数 ''n'' のベクトルからなる各部分空間 ''V''''i'' は有限次元とする。このとき ''V'' のヒルベルト–ポアンカレ級数は形式的冪級数 : である。同様の定義を固定された次数 ''n'' の斉次元からなる各部分加群が有限ランクの自由加群であるような任意の可換環 ''R'' 上の N で次数付けられた ''R''-加群に対して与えることができる。つまり、次元をランクで置き換えるだけで十分である。ヒルベルト–ポアンカレ級数が考えられている次数付きベクトル空間や加群はしばしば付加的な構造、たとえば環の構造、をもっているが、ヒルベルト–ポアンカレ級数は積や他の構造とは独立である。 例： 変数が の ''k'' 次単項式は（例えば帰納法で） 個あるので、''K'' のヒルベルト–ポアンカレ級数は であることが直ちに従う。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ヒルベルト–ポアンカレ級数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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