ヒルベルト行列について

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ヒルベルト行列：ミニ英和和英辞書

ヒルベルト行列[ひるべるとぎょうれつ]
=====================================
〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。

・行： [くだり, ぎょう]
　【名詞】 1. (1) line　2. row　3. (2) verse　
・行列： [ぎょうれつ]
　 1. (n,vs,n) (1) line　2. procession　3. (2) (gen) (math) matrix　
・列： [れつ]
　【名詞】 1. queue　2. line　3. row　

ヒルベルト行列：ウィキペディア日本語版

ヒルベルト行列[ひるべるとぎょうれつ]
線形代数学において正方行列

H

がヒルベルト行列（ひるべるとぎょうれつ、Hilbert matrix）であることの定義は，その

(i, j)

要素

H_

が次のような単位分数であることである：
:

H_ = \frac

例として5次のヒルベルト行列を示す：
:

H = \begin 1 & \frac & \frac & \frac & \frac \\

\frac & \frac & \frac & \frac & \frac \\\frac & \frac & \frac & \frac & \frac \\\frac & \frac & \frac & \frac & \frac \\\frac & \frac & \frac & \frac & \frac \end
このようなものを定義する動機としては次のような積分を考えると良い：
:

\int_^ (x^)(x^)\,dx = \int_^ x^ \, dx = \frac = H_

すなわちヒルベルト行列は区間での

x

の冪乗に対するグラム行列である。
==歴史的経緯==

ヒルベルト行列の初出はダフィット・ヒルベルトの論文集〔
David Hilbert, ''Collected papers'', vol. II, article 21
〕に収められた論文 "Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms"〔
David Hilbert, Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms, ''Acta Mathematica'', vol. 18, 155-159, 1894
〕である。
この論文はにおける以下の問題を扱っていた：

区間 $I =$ b が与えられたとき、任意の小さな正数εに対し、"整数"係数の非零な多項式 $P$ を適当に選んで、積分
: $\int_^b P(x)^2 \, dx$
をεより小さくできるだろうか？　

ヒルベルトは、ヒルベルト行列の行列式の漸近形を使って区間の長さ

b-a

が4未満ならばこれが可能であることを示した。
ヒルベルトは

n

次のヒルベルト行列

H

の行列式を閉じた式で求めた：
:

\det(H)=

ここで

c_n

は次のように書ける：
:

c_n = \prod_^ i^=\prod_^ i!

ヒルベルトは次のような興味深い事実を指摘している。すなわちヒルベルト行列の行列式の逆数は整数であり、その整数はルジャンドル多項式に関連するある種の超幾何多項式の判別式として書ける。これは次の恒等式からも分かる：
:

==n!\cdot \prod_^

\log c_n

に対してオイラー＝マクローリンの総和公式を適用することで、ヒルベルトは次の漸近形を得た：
:

\det(H)=4^

ここで誤差項

r_n

は

o(n^2)

である。より正確な漸近形は階乗に対するスターリングの公式を使って
:

\det(H)=a_n\, n^(2\pi)^n \,4^

として得られる。ここで

a_n

は

n\to\infty

のとき定数

a_\infty=0.6450...

に収束する。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
■ウィキペディアで「ヒルベルト行列」の詳細全文を読む

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