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数学において、ピカール・レフシェッツ理論は複素多様体上の位相的性質を、多様体上の正則関数のを見ることによって調べる理論である。この理論はエミール・ピカールが複素曲面に対して著書 内で導入し、 において高次元へ拡張された。ピカール・レフシェッツ理論は、実多様体の位相的性質を実関数の臨界点によって調べるモース理論の複素版である。 においてピカール・レフシェッツ理論はさらに一般の体上に拡張され、ドリーニュはこの一般化をヴェイユ予想の証明の中で用いた。 ==ピカール・レフシェッツ公式== ピカール・レフシェッツ公式は臨界点におけるモノドロミーを描写する。 ''f'' を ''(k + 1)'' 次元複素射影多様体から射影直線 P1への正則写像とする。すべての臨界点は非退化かつそれぞれ異なるファイバー上に存在すると仮定し、それらの像を ''x''1, ..., ''x''''n'' ∈ P1 と書く。''x'' ≠ ''x''1, ..., ''x''''n'' なる点 ''x'' ∈ P1 を取る。基本群 π1(P1 – , ''x'') は点 ''x''''i'' の周りを周るループ ''w''''i'' によって生成され、各点 ''x''''i'' に対して ''x'' におけるファイバー ''Y''''x'' のホモロジー ''H''''k''(''Y''''x'') 内の(vanishing cycle)が存在する。ここで、ファイバーは複素次元 ''k'' であり、よって実次元 ''2k'' であることからこのホモロジーの次数は中間の次数であることに注意せよ。 ''H''''k''(''Y''''x'') 上の π1(P1 – , ''x'') のモノドロミー作用は以下のピカール・レフシェッツ公式で得られる(他のホモロジー群上のモノドロミー作用は自明である)。'''' ∈ ''H''''k''(''Y''''x'') への基本群の生成元 ''w''''i'' でのモノドロミー作用は : で与えられる。ここで、δ''i'' は ''x''''i'' の消滅サイクルである。この公式は ''k'' = 1 のとき において非明示的に(消滅サイクル δ''i'' の係数の明示なしに)現れている。 では任意の次元で明示的な公式が与えられている。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ピカール・レフシェッツ理論」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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