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フラクタル次元（フラクタルじげん、、''D''）とは、フラクタル幾何学において、より細かなスケールへと拡大するにつれあるフラクタルがどれだけ完全に空間を満たしているように見えるかを示す統計的な量である。 フラクタル次元にはさまざまな定義がある。最も重要な理論的フラクタル次元はレニー次元、、の3つである。実用上ではとの2つが実装が容易なこともあり広く使われている。古典的なフラクタルのいくつかではこれらの次元は全て一致するが、一般にはこれらは等価なものではない。 例えば、コッホ雪片の位相次元は1であるが、これは決して曲線ではない――コッホ雪片上の任意の2点の間の弧長は無限大である。コッホ雪片の小片は線のようではないが、かといって平面やその他の何かの一部のようでもない。1次元の物体であると考えるには大きすぎるが、2次元の物体であると考えるには薄すぎるとも言え、ではその次元はある意味1と2の間の数値として表されるのではないかという考察に導かれる。これがフラクタル次元の概念を想像してみる簡単な方法の1つである。 == 具体的な定義 == フラクタル構造を生成するアプローチは主に2つある。1つは単位となる図形から成長させる方法（図1）、もう1つはシェルピンスキーの三角形のようにもととなる構造を続けて分割してゆく方法（図2）である。ここでは第2のアプローチによってフラクタル次元を定義する。 ユークリッド次元に存在する線形サイズ1の図形があり、そのサイズを各空間方向にに縮めると、もとの図形を埋めるには個の自己相似図形が必要となる（図1）。しかしながら、 : （ここで対数の基数は任意）によって定義される次元はまだその位相次元もしくはユークリッド次元と等しい〔。上記の等式をフラクタル構造に適用することによって、 期待された通り非整数となるフラクタル構造の次元（これは事実上である）を得ることができる。 : ここで''(ε)''はもとの構造全体を埋めるのに必要とされる線形サイズεの自己相似構造の数である。 例えば、シェルピンスキーの三角形（図2）は ½ に縮めると3つの自己相似構造が必要になるので、そのフラクタル次元はこのように求められる： : 同様に、コッホ雪片のフラクタル次元は : となり、シェルピンスキーの三角形はコッホ雪片と比べ密であると言える。 これと密接に関連するのがであり、これは空間がサイズεの箱によるグリッドに分割されるとき、いくつのこのサイズの箱がアトラクターの一部を含むかを考えるものである。これもまた： : その他の次元量としては情報次元があり、これは箱のサイズが小さくなってゆくときに、ある占められた箱を特定するために必要とされる平均情報量がどれだけ変化するかを考えるものである： : また、は恐らく最も計算が簡単なものであり、 : ここで''M''はフラクタルもしくはアトラクターを表すのに用いられる点の数、''g''εは互いに距離εよりも近い点のペアの数である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「フラクタル次元」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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