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数学、とくに環論において、フロベニウス環 (Frobenius ring) のクラスとその一般化はフロベニウス多元環についてなされた研究の拡張である。おそらく最も重要な一般化は準フロベニウス環 (quasi-Frobenius ring, QF ring) のそれであろう。これはさらに右擬フロベニウス環 (pseudo-Frobenius ring, PF ring) と右有限擬フロベニウス環 (finitely pseudo-Frobenius ring, FPF ring) に一般化される。準フロベニウス環の他の種々の一般化には QF-1, QF-2, QF-3 環がある。 これらのタイプの環はゲオルク・フロベニウスによって考察された多元環の子孫と見ることができる。準フロベニウス環のパイオニアたちを部分的に挙げれば、、森田紀一、中山正、, 。 ==定義== 説明のためにはまず準フロベニウス環を定義するのが易しいだろう。各タイプの環の以下の特徴づけにおいて、環の多くの性質が明らかにされる。 環 ''R'' が準フロベニウス (quasi-Frobenius) であるとは、''R'' が以下の同値な条件のうちの1つを満たすことをいう： * ''R'' は片側ネーター的かつ片側自己移入的である。 * ''R'' は片側アルティン的かつ片側自己移入的。 * 射影的なすべての右（あるいはすべての左）''R'' 加群は移入的でもある。 * 移入的なすべての右（あるいはすべての左）''R'' 加群は射影的でもある。 フロベニウス環 (Frobenius ring) ''R'' とは以下の同値な条件のうちの1つを満たす環のことである。''J'' = J(''R'') を ''R'' のジャコブソン根基とする。 * ''R'' は準フロベニウスかつ右 ''R'' 加群として半単純成分 (socle) * ''R'' は準フロベニウスかつ左 ''R'' 加群として * 右 ''R'' 加群として でありかつ左 ''R'' 加群として 可換環 ''R'' に対して、以下は同値である： * ''R'' はフロベニウス * ''R'' は準フロベニウス * ''R'' は唯一の極小イデアルを持つ局所アルティン環の有限個の直和である。（そのような環は「0次元ゴレンスタイン局所環」の例である。） 環 ''R'' が右擬フロベニウス (right pseudo-Frobenius) とは、以下の同値な条件の1つを満たすことである： * すべての忠実右 ''R'' 加群は右 ''R'' 加群の圏のである。 * ''R'' は右自己移入的かつ Mod-''R'' のである。 * ''R'' は右自己移入的かつ右 ''R'' 加群として有限余生成である。 * ''R'' は右自己移入的かつ右 カシュ環である。 * ''R'' は右自己移入的、半局所、かつ半単純成分 soc(''R''''R'') は ''R'' の本質部分加群である。 * ''R'' は Mod-''R'' の余生成加群かつ左 カシュ環である。 環 ''R'' が右有限擬フロベニウス (right finitely pseudo-Frobenius) とは、すべての有限生成忠実右 ''R'' 加群が Mod-''R'' の生成加群であることをいう。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「準フロベニウス環」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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