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数学において、''d''-次元ユークリッド空間上の実あるいは複素数値函数 ''f'' がヘルダー条件（ヘルダーじょうけん、）を満たす、あるいはヘルダー連続であるとは、''f'' の定義域内のすべての ''x'' と ''y'' に対して次の不等式を満たす非負の実定数 ''C'', α が存在することを言う。 : より一般に、この条件は任意の二つの距離空間の間の函数に対して考えることが出来る。このような数 α はヘルダー条件の指数と呼ばれる。α = 1 の場合はリプシッツ条件を意味し、α = 0 の場合は単純に函数が有界であることを意味する。この条件の名は、オットー・ヘルダーにちなむ。 実数直線のコンパクトな部分集合上の函数に対して、0 < α ≤1 の時は、次の包含関係が成り立つ。 : 連続的微分可能 ⊆リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 ⊆ 一様連続 ⊆ 連続 == ヘルダー空間 == ヘルダー条件を満たす函数からなるヘルダー空間は、偏微分方程式の解法に関連して函数解析学の分野や、力学系の分野において基本的な概念である。あるユークリッド空間の開部分集合 Ω と非負の整数 ''k'' ≥ 0 に対するヘルダー空間 ''C''''k'',α(Ω) は、Ω 上高々 ''k'' 階までの連続な導函数を持ち、''k'' 階偏導函数が 0 < α ≤ 1 を満たす指数 α に対してヘルダー連続であるような函数からなる。この空間は局所凸位相線型空間である。ヘルダー係数 : が有限であるなら、函数 ''f'' は「Ω において指数 α で一様ヘルダー連続」と言われる。この場合、ヘルダー係数は半ノルムを与える。ヘルダー係数が単純に Ω のコンパクトな部分集合上で有界であるだけなら、函数 ''f'' は「Ω において指数 α で局所ヘルダー連続」と言われる。 函数 ''f'' と、その高々 ''k'' 階までの導函数が Ω の閉包上で有界であるなら、ヘルダー空間 には次のノルムが与えられる。 : ここで β は多重指数について変化し、 : である。これらのノルムと半ノルムは単純に と 、あるいは ''f'' の定義域への依存性を強調するために と のように表記される。Ω が開かつ有界であるなら、 はノルム に関してバナッハ空間となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ヘルダー条件」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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