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数学の微分積分学周辺領域におけるヘンストック＝クルツヴァイル積分（ヘンストッククルツヴァイルせきぶん、; HK積分）、またはダンジョワ積分（ダンジョワせきぶん、）あるいはペロン積分（ペロンせきぶん、）は、いくつかある函数の積分法の定義のうちの一つで、リーマン積分を一般化したものであり、場合によってはルベーグ積分よりも有用なものとなりうる。 この積分を初めて定義したのはで1912年のことである。ダンジョワは : のような函数を積分することができるような、積分法の定義に興味を持っていた。この函数は点 に特異点を持ち、かつルベーグ可積分でないが、それでも 0 を含む十分小さい区間 を除いて積分を計算し、その後 とするのは自然に思われる。 一般論を形成するためにダンジョワは可能な全ての種類の特異点に対する超限帰納法を用いたが、そのことで定義は極めて込み入ったものになってしまった。これに代わる別の定義を与えたのは（の概念の一種を用いた）および（連続な優函数と劣函数に着目した）であった。ペロン積分とダンジョワ積分が実際には同じものであることが分かるのはしばらくしてからのことである。 後の1957年に、チェコの数学者は、ゲージ積分と呼ばれるリーマンによる元々の定義ときれいにそっくりな新しい積分の定義を発見し、その理論はによって研究が進められた。この二人の数学者の大きな貢献に因み、現在ではその積分はヘンストック＝クルツヴァイル積分として広く認知されている。クルツヴァイルの定義の簡潔さから、微分積分学の入門的講義ではリーマン積分の代わりにこちらを用いるべきとする教育者もあるが、傍流である。 == 定義 == ヘンストックによる定義は以下のようなものである。 有界閉区間 の : とゲージと呼ばれる正値函数 に対して、点付き分割 が -細 であるとは、各 について : を満たすことである。点付き分割 と函数 に対して、リーマン和 : を定義することができる。与えられた函数 に対して、 のヘンストック＝クルツヴァイル積分の値となるべき数 は、 : 十分小さな に対して適当なゲージ を選べば、 が -細分割である限り必ずが成り立つ という条件によって定義することができる。このような が存在するとき、函数 は においてヘンストック＝クルツヴァイル積分可能であるという（紛れの恐れがないときは単に可積分であるという）。 によれば、どのようなゲージ に対してもこのような -細分割 は存在する。したがって、この条件は空虚な真理（、この場合どのようなゲージ を選んでも -細分割である が存在しないために上記の条件が真になること）とはなり得ない。リーマン積分はここで定数ゲージを用いた特別の場合として見ることができる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ヘンストック＝クルツヴァイル積分」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Henstock-Kurzweil integral 」があります。 スポンサード リンク
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