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ホッジ予想（ホッジよそう、）は、代数幾何学の大きな未解決問題であり、非特異複素多様体と部分多様体の代数トポロジーに関連している。ホッジ予想は、複素解析多様体のあるホモロジー類（ホッジ類）は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろうという予想である。この定式化は、スコットランドの数学者(William Vallance Douglas Hodge)により、1930年から1940年のド・ラームコホモロジーの記述を、複素多様体の場合に存在する余剰な構造を含む記述へと拡張する仕事の結果として得られた。1950年の米国のマサチューセッツ州ケンブリッジで行われた、国際数学者会議でホッジが提起すると、ホッジ予想は非常に注目をあびるようになった。クレイ数学研究所は、ミレニアム懸賞問題の一つとして、解決者に対して100万ドルの懸賞金を支払う事を約束している。 == 動機 == ''X'' を複素 ''n'' 次元のコンパクトな複素多様体とすると、''X'' は実 2''n'' 次元の向き付け可能な微分可能多様体である。従って、''X'' 上のコホモロジー群は 0 から 2''n'' まで以外では消える。''X'' をケーラー多様体と仮定すると、複素数を係数とするコホモロジーの分解が存在して、 : となる。ここに ''Hp, q''(''X'') は、タイプが (''p'', ''q'') の調和形式により表されるコホモロジー類である。すなわち、これらは、ある局所座標 ''z''1, ..., ''z''''n'' を選択すると、ある調和函数と : の積として表されるような微分形式によって表現されるコホモロジー類である（さらに詳しくはホッジ理論を参照のこと）。これらの調和函数を使う表現のウェッジ積をとることは、コホモロジーのでのに対応するので、カップ積はホッジ分解と整合性を持っている。 : ''X'' はコンパクトな向き付け可能な多様体であるから、''X'' は基本類を持っている。 ''Z'' を ''X'' の次元 ''k'' の複素部分多様体として、''i'' : ''Z'' → ''X'' を埋め込み写像とする。タイプ (''p'', ''q'') の微分形式 α を選択する。すると α を次式のように ''Z'' 上積分することができる。 : この積分を計算するために、''Z'' の上の点を選び、それを 0 とする。''X'' の上の 0 の周りの局所座標 ''z''1, ..., ''zn'' で ''Z'' がちょうど ''z''''k'' + 1 = ... = ''zn'' = 0 となる座標を選択することができる。もし ''p'' > ''k'' であれば、α はある ''dzi'' に含まれねばならない。ここに ''zi'' は ''Z'' 上の 0 に引き戻す。''q'' > ''k'' の場合でも同じことが成り立つ。結局、この積分は、(''p'', ''q'') ≠ (''k'', ''k'') であれば、ゼロとなる。 さらに抽象化すると、積分は ''Z'' のホモロジー類と α により表されるコホモロジー類のとして書くことができる。ポアンカレ双対性により、''Z'' のホモロジー類はコホモロジー類 の双対であり、 と α のカップ積と ''X'' の基本類とのキャップ積を取ることにより、（この積分値である）キャップ積を計算することができる。 はコホモロジー類であるので、ホッジ分解を持っている。上記の計算により、これ（基本類）とタイプが (''p'', ''q'') ≠ (''k'', ''k'') の任意のクラスとのカップ積を取ると、その結果はゼロとなることが分かる。''H''2''n''(''X'', C) = ''H''''n'', ''n''(''X'') であるので、 は ''H''''n''-''k'', ''n''-''k''(''X'', C) の中にある必要がある。大まかに言うと、ホッジ予想は次のように問うことと言える。 ''H''''k'', ''k''(''X'') の中のどのコホモロジー類が、複素部分多様体 ''Z'' から来たのであろうか？ 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ホッジ予想」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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