|
===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 作 ： [さく] 1. (n,n-suf) a work 2. a harvest ・ 作用 ： [さよう] 1. (n,vs) action 2. operation 3. effect 4. function ・ 用 ： [よう] 1. (n,n-suf) task 2. business 3. use ・ 素 ： [もと] 1. (n,n-suf,n-t) (1) origin 2. basis 3. foundation
数学において、ホッジスター作用素(Hodge star operator)、もしくは、ホッジ双対(Hodge dual)は、(Hodge)により導入された重要な線型写像である。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた内積空間の外積代数の上で定義される。 ==次元と代数== を向きつけられた内積空間の次元とし、 を の整数とすると、ホッジスター作用素は、(-vectors)から -ベクトル空間への１：１対応を確立する。この写像の -ベクトルの像は、-ベクトルのホッジ双対と呼ばれる。前者の -ベクトルは次元 : がであることに対し、後者の次元は、 : であり、実際は、二項係数の対称性により 2つの次元は等しい。同じ体の上の同じ次元の 2つのベクトル空間は常に同型であるが、自然に標準的方法で同型となるわけではない。しかし、この場合のホッジ双対は、内積とベクトル空間の向き付けを保存しない。従って、代数における二項係数のパターンを反映した同型を一意に特定してする。このことは、-ベクトル空間の内積を導く。自然な定義とは、この双対関係が理論の幾何学的な役割を果たすことを意味する。 最初の興味深い例は、3次元ユークリッド空間 である。パスカルの三角形の適当な行を考えると : であり、ホッジ双対は、2つの 3次元空間、 自身と から導かれる 2つのベクトルのウェッジ積の空間の間の同型を確立する。詳細は、#例の節を参照。この場合には、まさに伝統的なベクトル解析であるクロス積である。クロス積の性質が 3次元での特殊な例であることに対し、ホッジ双対はすべての次元に適用される。
|