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抽象代数学の一分野である環論において、秋月・ホプキンス・レヴィツキの定理 (Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem) は半準素環上の加群において降鎖条件と昇鎖条件を結び付ける。（1を持つ）環 ''R'' は、''R''/''J''(''R'') が半単純でありかつ ''J''(''R'') が冪零イデアルであるときに、半準素環 (semiprimary ring) と呼ばれる。ここで ''J''(''R'') はジャコブソン根基である。定理の主張は、''R'' が半準素環で ''M'' が ''R'' 加群ならば、加群についての3つの条件、ネーター的、アルティン的、「組成列を持つ」、が同値であるというものである。半準素という条件がなければ、''M'' が組成列を持てば ''M'' はネーターかつアルティンであるということしか言えない。 Charles Hopkins の論文と の論文（ともに1939年）から定理は現在の形となった。そのためしばしばホプキンス・レヴィツキの定理 (Hopkins–Levitzki theorem) と呼ばれる。しかしながら、秋月康夫を含めることがある。数年早く可換環に対して結果を証明したからだ。 右アルティン環は半準素であることが知られているから、定理の直接の系として、右アルティン環は右ネーター環でもある。同様の主張は左アルティン環に対しても成り立つ。これはアルティン加群に対しては一般には正しくない。ネーター的でないアルティン加群の例が存在するからである。 別の直接の系として、''R'' が右アルティン環であるとき、''R'' が左アルティン環であることと左ネーター環であることは同値である。 == 証明の概略 == 以下の主張の証明を書く：''R'' を半準素環で ''M'' を左 ''R'' 加群とする。''M'' がアルティン的あるいはネーター的であれば、''M'' は組成列を持つ。（この逆は任意の環上正しい。） ''J'' を ''R'' のジャコブソン根基とする。 とおく。すると ''R'' 加群 を -加群と見ることができる。''J'' は の零化イデアルに含まれているからである。各 は半単純 -加群である、なぜならば が半単純環だからである。さらに、''J'' は冪零イデアルであるから、 のうち 0 でないのは有限個しかない。''M'' がアルティン的（あるいはネーター的）であれば、 は有限の組成列を持つ。 の組成列をつないでいって、''M'' の組成列を得る。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ホプキンス・レヴィツキの定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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