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数学において、ポアンカレ・ホップの定理(Poincaré–Hopf theorem)（ポアンカレ・ホップの指数公式やポアンカレホップの指数定理などとしても知られている）は、微分トポロジーで使われる重要な定理である。命名はアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré）と(Heinz Hopf)に因んでいる。 ポアンカレ・ホップの定理は、よく(Hairy ball theorem)として特別な場合を簡単に説明されることがある。この定理は、流出点と流入点を持たないような球面上の滑らかなベクトル場は存在しないという定理である。 ==定理の内容== ''M'' を次元 ''n'' の微分可能多様体とし、''v'' を ''M'' 上のベクトル場とする。''x'' を ''v'' の孤立した零点とし、''x'' の近くの局所座標を固定する。''x'' が ''D'' の中で ''v'' の唯一の零点となるように ''x'' を中心とする閉球体 ''D'' を取ると、''x'' での ''v'' の指数 indexx(''v'') を、''u''(''z'')=''v''(''z'')/| ''v''(''z'') | により与えられる ''D'' の境界から (''n''−1) 次元球面への写像 ''u'':∂''D''→''S''n-1 の次数として定義する。 定理： ''M'' をコンパクトな向き付け可能微分多様体とする。''v'' を ''M'' 上の孤立した零点を持つベクトル場とする。''M'' が境界を持つと、''V'' を境界に沿って外向きの法線方向を指しているようにすると、次の公式を得る。 : ここに、指数の和は ''v'' の孤立した零点のすべてを渡り、 は ''M'' のオイラー標数である。 定理は、2次元の場合にアンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)により証明され、後日、(Heinz Hopf)により高次元へ一般化された。
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