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ストーンの双対性定理とは数学における定理で、（非常に弱いある種の制限を満たす）位相空間がある種の性質を満たす束と自然に対応づけられる事を意味し、この対応づけをストーン双対性(Stone duality)という。位相空間論は点集合論に基づいて通常定式化されるが、ストーン双対性により位相空間は束と対応づけられるので、この双対性は点集合論の代わりに束論に基いて位相空間論を定式化（ポイントレス位相空間論（pointless topology））できる事を意味する。この為本稿ではポイントレス位相空間論についても述べる。ストーンの双対性定理はストーンの表現定理の一般化でもある。 == 概要 == 位相空間''X'' 上の開集合全体の集合をΩ(''X'' )とすると、Ω(''X'' )は包含関係に関して半順序集合をなす。 しかもΩ(''X'' )は和集合と共通部分について閉じているのでΩ(''X'' )は束であり、 さらに詳しく調べると、Ω(''X'' )は必ず「完備ハイティング代数」という種類の束になる事が示せる。 したがって''X'' にΩ(''X'' )を対応させる事で位相空間に完備ハイティング代数を対応させる事ができる。 ストーン双対性は、位相空間としてある種の弱い性質（sober性）を満たすものに限定し、さらに完備ハイティング代数の方も「空間的」という性質を満たすものに限定するとこの対応関係がいわば「全単射」になるという趣旨の定理である。 ストーン双対性の厳密な定式化には圏論の言葉を用いる必要があるので、まずは圏の概念を簡単に紹介する。 圏(category)とは「対象」の集まりと「射」 の集まりの組の事で、対象 (object)とは直観的には研究対象となる集合の事を指し、射 (morphism)とは対象から対象への写像の事を指す〔圏の定義では対象と射が集合と写像である事は要求していないが、本稿で出てくる圏は後述するSLocを除いてこの性質を満たすので、以下対象と射がそれぞれ集合と写像であるかは問わない。〕。例えば位相空間の圏Topの対象と射はそれぞれ位相空間と連続写像であり、群の圏Grpの対象と射はそれぞれ群と群準同型写像である。 以下の章で、ストーン双対性の記述に必要な概念を順に述べていく。 ==sober空間== sober空間は以下のように定義される： sober性はT0分離公理とT2分離公理の中間の強さを持つ事が知られており、T2空間⇒sober空間⇒T0空間が成立する。一方sober性とT1分離公理は独立な概念であり、sober空間でないT1空間やT1空間でないsober空間が存在する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ストーン双対性」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Stone duality 」があります。 スポンサード リンク
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