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数学においてポアンカレ双対(Poincaré duality)定理とは、アンリ・ポアンカレ(Henri Poincaré)の名前にちなんでいるが、多様体のホモロジー群やコホモロジー群の構造の基本的結果である。多様体 ''M'' が ''n''-次元向き付けられた閉多様体（境界を持たないコンパクトな多様体）であれば、すべての整数 ''k'' に対し、''M'' の ''k'' 次コホモロジー群は、(''n'' − ''k'') 次ホモロジー群に同型である。 : 任意の係数環に対して、その係数環に関して向き付けを取る限り、ポアンカレ双対が成立する。特に、すべての多様体は mod 2 の一意の向き付けを持つので、ポアンカレ双対は mod 2 では向き付けのどんな仮定もなしで成り立つ。 == 歴史 == 1893年にアンリ・ポアンカレにより、ポアンカレ双対の原型は証明なしで初めて述べられた。このときはベッチ数の言葉で、閉じた（つまり、コンパクトで境界を持たない）向き付け可能な n-次元多様体のk 次と (n − k) 次ベッチ数は等しいと記述されている。コホモロジー の考え方は、さらにこれより40年程後で提出された。ポアンカレの1895の論文 では、この定理を彼の開発したトポロジーの交叉理論を使い証明しようとした。(Poul Heegaard)の論文への批判は、証明に重要な欠点のあることをポアンカレに悟らせた。ポアンカレは、''Analysis Situs'' の最初に2つのことを補ない、双対な三角（分解）のことばで新しい証明を与えた。 ポアンカレ双対は1930年代にコホモロジーの登場まで現代的な形をとってはいない。コホモロジーの登場は、(Eduard Čech)と(Hassler Whitney)が(cup product)や(cap product)を考え出し、これらの新しい言葉でポアンカレ双対を定式化したときであった。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ポアンカレ双対」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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