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数学、殊に調和解析および位相群の理論においてポントリャーギン双対性（ポントリャーギンそうついせい、）はフーリエ変換の一般的な性質を説明する。ポントリャーギン双対は実数直線あるいは有限アーベル群上の函数の、たとえば * 実数直線上の素性の良い複素数値周期函数はフーリエ級数展開を持ち、そのような函数はそのフーリエ展開から復元することができる。 * 実数直線上の素性の良い複素数値函数は、おなじく数直線上で定義される函数としてのフーリエ変換を持ち、周期函数におけると同様に、そのような函数はそのフーリエ変換から復元することができる。 * 有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）双対群上の函数としての離散フーリエ変換を持ち、有限群上の任意の函数がその離散フーリエ変換から復元することができる。 といったようないくつかの話題を統一的にみることができる文脈に属する。この理論はレフ・ポントリャーギンによって導入され、フォン・ノイマンやヴェイユらの導入したハール測度の概念やそのほか局所コンパクトアーベル群の双対群に関する理論などと結び付けられた。 == ハール測度 == 位相群が局所コンパクト群となるのはその群の単位元 ''e'' がコンパクト近傍を持つときであり、かつそのときに限る。この条件は ''e'' を含む開集合 ''V'' で、その ''G'' の位相に関する閉包がコンパクトであるようなものが存在することを意味する。局所コンパクト群に関して最も特筆すべき事実のひとつは、それが（右不変）ハール測度と呼ばれる自然な測度を本質的にただひとつ持ち、それにより ''G'' の十分素性の良い部分集合の「大きさ」を測ることができるということにある。ここでいう「十分素性の良い部分集合」 というのはボレル集合、つまり ''G'' のコンパクト部分集合の全体が生成する完全加法族の元のことである。もう少し明確に述べれば、局所コンパクト群 ''G'' 上の右不変ハール測度 とは、''G'' のボレル集合族上で定義される可算加法的測度 μ であって、''G'' の各元 ''x'' と各ボレル集合 ''A'' に関して μ(''Ax'') = μ(''A'') が成り立つという意味で右不変であり、さらに適当な正則性 条件を満たすもののことである（詳細はハール測度の項を参照）。群がコンパクトであることとハール測度の有限性が同値であり、一般に正の定数倍の違いを除いて（右不変）ハール測度は一意的に存在する。コンパクト群や可換群の場合には右不変ハール測度は左不変でもあり、単にハール測度と呼ばれる。 ハール測度によって群上で定義される（複素数値）ボレル函数に対して不変積分の概念を定義することができる。特に、ハール測度に付随した ''L''''p''-空間が : というように定義される。局所コンパクト可換群の例には以下のようなものが挙げられる。 * 正の整数 ''n'' に対する R''n'' にベクトルの加法を群演算と考えたもの。 * 正の実数全体 R+ に通常の実数の乗法を群演算として考えたもの。この群は明らかに加法群 ''R'' に同型である。実際、指数写像がその同型を与えている。 * 任意の有限アーベル群に離散位相を入れたもの。有限アーベル群の構造定理によれば、このような群は全て巡回群の直積として表すことができる。 * 整数全体 Z を加法群と見たものに、やはり離散位相を入れたもの。 * 円周群 T = ''U''(1)。この群は絶対値が 1 の複素数全体に通常の複素数の乗法を入れたものである。T は位相群として剰余群 R/Z に同型である。 * ''p''-進数体 Q''p'' を加法に関する群と見て、通常の ''p''-進位相を入れたもの。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ポントリャーギン双対」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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