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メルセンヌ数（メルセンヌすう、）とは、2の冪よりも 1 小さい自然数、すなわち 2 − 1（''n'' は自然数）の形の自然数のことである。これを ''M'' で表すことが多い。2進数表記では、''n'' 桁の 11…11 となる。 :1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535,…() 上記の数列において、素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数（メルセンヌそすう、）という。''M'' が素数ならば ''n'' は素数であるが、逆に ''n'' が素数であっても ''M'' は素数とは限らない (''M'' = 23 × 89)。後述するように、効率的な素数判定法によって、巨大な素数の実例としてメルセンヌ素数を発見することが特に興味の対象となっている。このため近年では、分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) によるメルセンヌ素数の発見が進められている。具体的なメルセンヌ素数は :3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647,…() である。詳しくは後述を参照のこと。 なお、「メルセンヌ数」という語で、''n'' が素数であるもののみを指したり〔Mathworld〕、さらに狭くメルセンヌ素数を指す場合もある〔『岩波数学辞典』第3版 180E ではそのようになっている。一松(2007) p. 73 によれば、これは日本のごく一部での用法であるらしい。『岩波数学辞典』第4版 194D では、メルセンヌ数とメルセンヌ素数を使い分けている。〕。 == 歴史 == 1644年にマラン・メルセンヌは、 2 − 1 が素数になるのは、''n'' ≤ 257 では、''n'' = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 だけであると主張した。しかしその主張の一部は誤っていた。リストに含まれていない ''M'', ''M'', ''M'' が素数であり、リストに含まれている ''M'', ''M'' は合成数である〔淡中(1982)、65-67頁〕〔中村(2008)、80頁〕。 ''M'' は1772年、 レオンハルト・オイラー によって素数であると証明された〔〔和田(1981)、51頁〕。 ''M'' は1876年、 エドゥアール・リュカ によって素数であると証明された〔〔中村(2008)、83-84頁〕。 ''M'' が素数であることは、1883年にによって示された〔。 ''M'' が素数でないことは、1903年10月、フランク・ネルソン・コールにより示された。彼はニューヨークで開かれたアメリカ数学会で 193707721 × 761838257287 を黒板に計算し、''M'' と一致することを証明した。この間一言もしゃべらず、席に戻った後、少し間を置いて拍手が沸き起こったと伝えられている〔中村(2008)、87頁〕。 1952年、ラファエル・M・ロビンソン が SWAC を利用して ''M'' から ''M'' まで、5つのメルセンヌ素数を発見〔して以降、発見にはコンピュータが使用されており、コンピュータの進歩と共に新たなメルセンヌ素数が発見されつつある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「メルセンヌ数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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