|
===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ ー ： [ちょうおん] (n) long vowel mark (usually only used in katakana) ・ 定理 ： [ていり] 【名詞】 1. theorem 2. proposition ・ 理 ： [り] 【名詞】 1. reason
谷山・志村予想（たにやましむらよそう、Taniyama–Shimura conjecture）は、「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーであろう」という数学の予想。 証明されて定理となったので、モジュラー性定理またはモジュラリティ定理 (modularity theorem) と呼ばれることもある。（本記事では、この三つの用語を区別することなく使用する） アンドリュー・ワイルズ (Andrew Wiles) は、半安定楕円曲線の谷山・志村予想を証明し、それによってフェルマーの最終定理を証明した。後に、(Christophe Breuil)、(Brian Conrad)、(Fred Diamond)、リチャード・テイラー(Richard Taylor)は、ワイルズのテクニックを拡張し、2001年にモジュラリティ定理を完全に証明した。 モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)によるより一般的な予想の特別な場合である。ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現(automorphic representation)（適切なモジュラ形式の一般化）を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論幾何の対象へ関連付ける方法を探している。これらの拡張された予想の場合は、現在のところほぼ証明されていない。 ==谷山・志村予想の内容== 谷山・志村予想とは、任意の Q 上の楕円曲線は、ある整数 N に対する(classical modular curve) : からの整数係数を持つ(rational map)を通して得ることができる。この曲線は整数係数を持ち、明確に表すことができる。レベル N のモジュラパラメータと呼ばれる。N がそのようなパラメータの中の最小の整数（モジュラリティ定理自体により、導手として呼んでいる数値であることが知られている）であれば、ウェイト 2 とレベル N の特別な場合のモジュラ形式で、楕円曲線の同種に従い正規化された q-展開をもつ(newform)の生成する写像として、この写像が定義される。 モジュラリティ定理は、次の解析的なステートメントと密接に関連する。Q 上の楕円曲線 E に楕円曲線のL-函数を対応させる。このL-函数は、ディリクレ級数であり、 : と表すことができる。 従って、係数 の母函数は、 : である。 : を代入すると、複素変数 τ の函数 のフーリエ展開の形に書くことができ、従って、q-展開の係数は のフーリエと考えることができる。この方法で得られた函数は、注目すべきことに、ウェイト 2 でレベル N のカスプ形式であり、（モジュラ形式でもあるので）ヘッケ作用素の固有ベクトルとなっている。これがハッセ・ヴェイユ予想(Hasse–Weil conjecture)であり、モジュラリティ定理より従うこととなる。 逆に、ウェイト 2 のモジュラ形式は、楕円曲線の(holomorphic differential)に対応する。モジュラ曲線のヤコビ多様体は、同種を同一視すると、ウェイト 2 のヘッケ固有形式に対応する既約アーベル多様体の積として書くことができる。1-次元要素は楕円曲線である。（高次元要素も存在し、すべてではないが、ヘッケ固有形式が有理楕円曲線へ対応する。）曲線は、対応するカスプ形式より得られるので、この方法で構成された曲線は、元々の曲線と同種である（一般には同型にはならない）。
|