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数学において、モーレー・カルタンの微分形式 () あるいはMaurer–Cartan 形式とは、リー群の上に自然に定められ、群構造の無限小近似を与える1次微分形式のことである。エリ・カルタンによる動標構の理論の中で大きな役割を果たし、この理論に貢献のあった (Ludwig Maurer) とともにその名前が付けられている。 リー群 ''G'' の Maurer–Cartan 形式は ''G'' のリー環に値をとる微分形式である。このリー環は ''G'' の単位元における接ベクトル空間 ''T''''e''''G'' と同一視できるため、Maurer–Cartan 形式は ''G'' の各点 ''g'' における接空間 ''T''''g''''G'' から ''T''''e''''G'' への写像と見なすことができる。この見方に立つと、Maurer–Cartan 形式は ''g'' における接ベクトル ''X'' に対して、左から ''g''−1 をかけることで定まる ''G'' 上の微分同相による像 : を対応させるもの、として定義することができる。 == 動機と意味付け == リー群が与えられたとき、さまざまな多様体への作用が考えられるが、特に積の演算によって自分自身に微分同相で作用しているものを考えることができる。カルタンの時代の大きな問題の一つに、このような主等質空間をどのようにして内在的に特徴付けるか、という問題があった。つまり、多様体のうちで ''G'' と微分同相であるが、特定の原点が指定されていないようなものの特徴付けである。このような問題は、部分的には、フェリックス・クラインによるエルランゲン・プログラムからきていると見なすことができる。このパラダイムでは群の作用によって表される空間の対称性が問題になるが、リー群を考えているときに最も基本的となるのは部分群 ''H'' に対して定まる等質空間 ''G''/''H'' (に微分同相な空間) で、特に原点 ''e H'' に当たる点を指定しないようなものである。 抽象的には、''G'' の主等質空間とは、''G'' の自由かつ推移的な作用をもつ多様体として定めることができる。カルタンによって導入された Maurer–Cartan 形式は Maurer–Cartan 方程式と呼ばれる可積分条件を満たしており、主等質空間の構造の極小的な特徴付けを与えていると見なすことができる。この可積分条件によって、''G'' の作用を局所的に表しているリー環の作用を定めることが可能になる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「モーレー・カルタンの微分形式」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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