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ライプニッツの公式（-こうしき、）とは円周率の値を求めるための公式の一つである。以下の級数で表される。 : これは初項が 1 で各項が奇数の逆数である交項級数が (= 0.785398…) に収束することを意味する。総和の記号を用いると以下のようになる。 : この公式を名付けたのはライプニッツであるが、これはすでに15世紀のインドの数学者マーダヴァがライプニッツより300年ほど前に発見していたものである。公式の発見がマーダヴァの功績であることを示すためにマーダヴァ-ライプニッツ級数と呼ばれることもある。 == 証明 == === 冪級数展開を用いる証明 === 三角関数の一つ tan θ を θ について微分すると : となる。ここで tan θ = ''x'' とおくと : が導かれる。 また以下の等比級数を考える。 : 左辺は公比が −''x'' であり、|−''x''| < 1 すなわち |''x''| < 1 のとき 1/(1 + ''x'') に収束する。 (1), (2)式から : が得られる。この両辺を ''x'' について項別積分すれば : となる。（''x'' = 0 のとき θ = 0 であるから定数項は 0 である。）tan θ = ''x'' としたので θ = のとき ''x'' = 1 である。これを利用して(3)式に θ = と ''x'' = 1 を代入すると : という式が現れる。ただし ''x'' = 1 は |''x''| < 1 の条件に反するので(3)式に ''x'' = 1 を代入できるかどうかが問題になるが、この場合は代入してもよいことが分かっている（アーベルの連続性定理）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ライプニッツの公式」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Leibniz formula for Ï 」があります。 スポンサード リンク
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