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数学におけるラプラス作用素（ラプラスさようそ、）あるいはラプラシアン（)はユークリッド空間上の函数の勾配の発散として与えられる微分作用素である。記号では などで表されるのがふつう。函数 の点 におけるラプラシアン は（次元に依存する定数の違いを除いて）点 を中心とする球面を半径が増大するように動かすときの から得られる平均値になっている。直交座標系においては、ラプラシアンは各独立変数に関する函数の二階（非混合）偏導函数の和として与えられ、またほかに円筒座標系や球座標系などの座興系においても有用な表示を持つ。 ラプラス作用素の名称は、天体力学の研究に同作用素を最初に用いたフランス人数学者のピエール＝シモン・ド・ラプラス (1749–1827) に因み、同作用素は与えられた重力ポテンシャルに適用するとき質量密度の定数倍を与える。現在ではラプラス方程式と呼ばれる方程式 の解は調和函数とも呼ばれ、自由空間において可能な重力場を表現するものである。 微分方程式においてラプラス作用素は（電気ポテンシャル、重力ポテンシャル、熱や流体の拡散方程式、波の伝搬、量子力学といった）多くの物理現象を記述するのに現れる。ラプラシアンは、函数の勾配フローの流束密度を表す。 == 定義 == ラプラス作用素は-次元ユークリッド空間上の函数 の勾配 の発散 として定義される二階の微分作用素である。つまり、 が二回微分可能ならば のラプラシアンは で定義される。ただし、あとの記法は形式的に と書いたものである。あるいは同じことだが、 のラプラシアンは直交座標系 における非混合二階偏導函数の全てに亘る和 としても書ける。二階の微分作用素として、ラプラス作用素は-級函数を -級の函数へ写す (''k'' ≥ 2)。つまり、式 1 (あるいは同値な 2) は作用素 を定める。あるいはより一般に任意の開集合 に対して作用素 を定める。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ラプラス作用素」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Laplace operator 」があります。 スポンサード リンク
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