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翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク リィ環 （ リダイレクト：リー環 ） ： ウィキペディア日本語版 リー環[りーたまき] 数学における（狭義の）リー環〔『代数学とは何か』p.262 "日本では次に定義するリー代数のことをリー環と言うことが多く（言葉の誤用ではあるが），ここに定義する意味でのリー環はあまり意識的には使われない．しかし本書のように両方の概念を同時に扱うような場合は，リー環とリー代数を区別して呼ぶことになる．" 〕（リーかん、）はリー代数とよく似た構造で、リー代数を一般化した代数的構造と見ることもできるが、群のの研究においても自然に生じてくる。 リー環と関連する概念としてリー群やリー代数があるが、（環が加法に関して群になるのとは異なり）リー環は加法に関して必ずしもリー群を成さず、他方で任意のリー代数はリー環の例である。任意の結合環は交換子括弧積 $$ = xy - yx を考えればリー環になる。逆に、任意のリー環には（普遍展開環）と呼ばれる結合環を対応させることができる。 リー環は、を通じて ''p''-群の研究に用いられる。''p''-群の降中心因子は有限アーベル ''p''-群だから、これを Z/''p''Z 上の加群と見ることができる。降中心因子すべての（加群としての）直和には、二つの剰余類の括弧積を代表元の交換子積を代表元とする剰余類を割り当てるものと定義して、リー環の構造を入れることができる。このリー環は、もう一つ ''p''-乗冪写像と呼ばれる加群の準同型によって豊饒化することができ、そうして得られたリー環がいわゆる制限リー環である。 リー環をリー代数の類似と見る立場からは、 ''p''-進整数環のような整数環上のリー代数の研究などを通じて、 ''p''-進解析的な位相群やその自己準同型を定義するのにもリー環は有用である。シュヴァレーによるリー型の有限群の定義は、複素数体上のリー代数を有理整数環上に係数制限し、さらに法 ''p'' で割って考えることにより有限体上のリー代数を得るものである。'Z 上の加群と見ることができる。降中心因子すべての（加群としての）直和には、二つの剰余類の括弧積を代表元の交換子積を代表元とする剰余類を割り当てるものと定義して、リー環の構造を入れることができる。このリー環は、もう一つ ''p''-乗冪写像と呼ばれる加群の準同型によって豊饒化することができ、そうして得られたリー環がいわゆる制限リー環である。 リー環をリー代数の類似と見る立場からは、 ''p''-進整数環のような整数環上のリー代数の研究などを通じて、 ''p''-進解析的な位相群やその自己準同型を定義するのにもリー環は有用である。シュヴァレーによるリー型の有限群の定義は、複素数体上のリー代数を有理整数環上に係数制限し、さらに法 ''p'' で割って考えることにより有限体上のリー代数を得るものである。 'Z 上の加群と見ることができる。降中心因子すべての（加群としての）直和には、二つの剰余類の括弧積を代表元の交換子積を代表元とする剰余類を割り当てるものと定義して、リー環の構造を入れることができる。このリー環は、もう一つ ''p''-乗冪写像と呼ばれる加群の準同型によって豊饒化することができ、そうして得られたリー環がいわゆる制限リー環である。 リー環をリー代数の類似と見る立場からは、 ''p''-進整数環のような整数環上のリー代数の研究などを通じて、 ''p''-進解析的な位相群やその自己準同型を定義するのにもリー環は有用である。シュヴァレーによるリー型の有限群の定義は、複素数体上のリー代数を有理整数環上に係数制限し、さらに法 ''p'' で割って考えることにより有限体上のリー代数を得るものである。 == 厳密な定義 == リー環はヤコビ恒等式を満足する交代的な乗法を持つ非結合環として定義される。より具体的に述べれば、リー環 ''L'' = (''L'', +, ) はアーベル群 (''L'', +, 0) の構造を持ち、以下の性質： * 双加法性: $$+ y, z = z + z , \quad x + y = x + y \qquad (\forall x,y,z\in L) * ヤコビ恒等式: $]\; +\; =0\; \backslash quad\; (\backslash forall\; x\backslash in\; L)$ を満たす二項演算 $$ を備えるものを言う〔 二つのリー環 ''L''1, ''L''2 の間の写像 ''f'': ''L''1 → ''L''2 がリー環準同型であるとは、それがリー環の二つの演算を保つときにいう。即ちリー環準同型 ''f'' は : $\backslash begin$ f(x+_1y) &= f(x) +_2 f(y)\\ f(_1) &= _2 \end\quad(\forall x,y\in L_1) を満たす（演算の下付き添字はそれぞれの空間における演算であることを示す）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「リー環」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Lie ring 」があります。 スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.