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数学の実解析の分野において、リーマン積分（リーマンせきぶん、）とは、区間上の関数の積分の最初の厳密な定式化であり、ベルンハルト・リーマンによって創始された〔リーマン積分はベルンハルト・リーマン論文 "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" （三角級数による関数の表現可能性に関して）において導入された。この論文は1854年にリーマンの ''Habilitationsschrift'' (qualification to become an instructor) としてゲッティンゲン大学に提出された。これは1868年に ''Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen'' (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, pages 87–132, に出版された。（オンラインで入手可能である： http://books.google.com/books?id=PDVFAAAAcAAJ&pg=RA1-PA87#v=onepage&q&f=false .）リーマンの積分の定義は、4節 "Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), pages 101–103 を参照。〕。多くの関数や実際的な応用に対しては、リーマン積分は微分積分学の基本定理による計算や数値積分による近似計算が可能である。 リーマン積分は R''n'' の有界集合上の関数に対して定義されるが、積分範囲にある種の極限を考えることにより、広義リーマン積分が定義される。広義リーマン積分との対比で、通常のリーマン積分を狭義リーマン積分とも呼ぶ。 リーマン積分は積分の多くの性質を示すのに有効であるが、積分と極限との交換に関係する性質を示すには理論的困難を伴うなど、いくつかの技術的欠点がある。この為こうした欠点を補うべくリーマン＝スティルチェス積分やルベーグ積分など積分概念の別の定式化方法も提案されている。 == 定義（一次元の場合） == === 区間の分割 === 区間 [''a'', ''b''] の分割とは : なる形の数の有限列である。各 [''x''''i'' , ''x''''i''+1] をこの分割の小区間 と呼ぶ。分割の大きさ とは最長の小区間の長さ : をいう。区間 [''a'', ''b''] の点付き分割 ''P''(''x'', ''t'') とは、各 ''i'' に対して ''x''''i'' ≤ ''t''''i'' ≤ ''x''''i''+1 なる条件を満たす有限数列 ''t''0, …, ''t''''n''−1 を備えた分割をいう。つまり、点つき分割は分割の各小区間に識別のための点をとったものである。点付き分割の大きさは、（識別点をとらない）通常の分割におけるものと同一とする。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「リーマン積分」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Riemann integral 」があります。 スポンサード リンク
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