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数学において、リー代数 ()、もしくはリー環〔日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、Lie ring はより一般的な概念である。〕は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる乗法 ''y'' を備えたベクトル空間である。 () の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算がであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群が被覆による違いを除いて一意的に存在する（）。このによってリー群をリー代数によって研究することができる。 == 定義 == リー代数は、ある体 上のベクトル空間 であって、リーブラケット ()、あるいは括弧積と呼ばれる、次の公理を満たす二項演算 が与えられている場合を言う。 ;双線型性 : の全ての元（スカラー） と の全ての元 に対して、 :: ;交代性 : の全ての元 に対し、 :: ;ヤコビ恒等式 : の全ての元 に対し、 :: 双線型性と交代性により、反交換関係、すなわち、 の全ての元 に対し、 が成り立つ。逆に、反交換関係は、体の標数が ではないとき、交代性があることを意味する。 のように、普通、リー代数はフラクトゥールの小文字で表される。リー代数がリー群に付随していると、リー代数のスペルはリー群と同じにする（書体は異なる）。例えば、特殊ユニタリ群の のリー代数は と書かれる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「リー代数」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Lie algebra 」があります。 スポンサード リンク
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