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数学の測度論の分野におけるルベーグの優収束定理（ゆうしゅうそくていり、）あるいは単にルベーグの収束定理とは、ある関数列に対して、そのルベーグ積分と、ほとんど至る所での収束という二つの極限操作が可換となるための十分条件について述べた定理である。 リーマン積分に対しては、優収束定理は成立しない。なぜならば、リーマン可積分関数の列の極限は多くの場合、リーマン可積分とはならないからである。優収束定理の持つ威力と有用性は、リーマン積分よりもルベーグ積分が理論的に優れているということを示すものである。 この定理は、確率変数の期待値の収束のための十分条件を与えるため、確率論の分野において広く利用されている。 ==定理の内容== を、可測空間 上の実数値可測関数の列とする。この列はある関数 ''ƒ'' へと各点収束し、次に述べる意味で、ある可積分関数 ''g'' によって支配されるものとする: が、列の添え字集合に含まれるすべての数 ''n'' および、''S'' 内のすべての ''x'' に対して成り立つ。 このとき、関数 ''ƒ'' は可積分であり、 : が成り立つ。これはまた であることも意味する。 注意: # 「g が可積分である」という陳述はルベーグの意味においてである。すなわち、 が成り立つ。 # 測度空間 が完備であるか、あるいは ''ƒ'' が ''μ'' に関してほとんど至る所で存在している各点極限と一致するという仮定の下で、定理における関数列の収束性と ''g'' により支配されるという性質は ''μ'' に関してほとんど至る所においてのみ成立すれば良いという様に緩められる（これらの性質が必要であるのは、''μ'' に関する空集合 のが存在するために ''ƒ'' が非可測となるような可能性を避けるためである）。 # 支配的な可積分関数 ''g'' が存在するという条件は、関数列 が一様可積分であるという条件で代替することも出来る（ヴィタリの収束定理を参照されたい）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「優収束定理」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Dominated convergence theorem 」があります。 スポンサード リンク
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