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数学におけるルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 ''A'' に対して、''A'' のほとんど至るところにおいて ''A'' の「密度」が 1 になることを述べる。これは直観的には、''A'' の「境界」（つまり、''A'' の外側にも内側にもはみ出すような「近傍」を持つような点全体の成す集合）は、ルベーグ測度に関して無視できるという意味である。 μ を R''n'' 上のルベーグ測度とし、 ''A'' を R''n'' のルベーグ可測な部分集合とする。R''n''の点 ''x'' の ε-近傍における ''A'' の近似密度を次のように定める。 : ここで、''B''εは ''x'' を中心とする半径 ε の閉球体である。 ルベーグの密度定理は ''A'' の殆ど全ての点 ''x'' に対して密度 : が存在してそれが 1 に等しいと主張する。 言い換えると、いかなる可測集合 ''A'' に対しても、R''n'' のほとんど至るところで ''A'' の密度は 0 か 1 である。それにもかかわらず、「μ(''A'') > 0 かつ ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような R''n'' の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。 密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合（もちろん正方形の境界のこと）は空ではないが、（零集合になるという意味で）無視できる。 ルベーグの密度定理は、ルベーグの微分定理の特殊な場合である。 == 関連項目 == * 境界 (位相空間論): 位相幾何学的なアナロジー 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ルベーグの密度定理」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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