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数学において関数の積分はその関数と ''x'' 軸の間の図形の面積とみなすことができる。ルベーグ積分（ルベーグせきぶん、''Lebesgue integral''）とは、より広い種類の関数が積分できるように拡張したものである。ルベーグ積分においては、被積分関数は連続である必要はなく、至るところ不連続でもよいし、関数値として無限大をとることがあってもよい。さらに、関数の定義域も拡張され、測度空間と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできる。 このような積分の拡張が必要となった背景には、フーリエ級数などの関数列の極限として表される関数に対して、積分と極限操作が可換となるかどうかをリーマン積分で考えるために非常に繊細な議論が必要だったということがある。この点について、ルベーグ積分では、関数列の極限が被積分関数として適当かどうかを考える必要がなく、積分と極限操作の交換も簡単な十分条件が分かっている。 ルベーグ積分の名前は、数学者のアンリ・ルベーグ（Henri Lebesgue、1875年 - 1941年）に由来している。 == 概要 == 積分を厳密なものにしようという動きは、19世紀に始まる。ベルンハルト・リーマンが提案したリーマン積分は大きな前進であった。リーマンは関数の積分を「簡単に計算できる積分」で近似することによって定義した。この定義による積分は、それまで解答が知られていた問題に対して予想通りの結果をもたらしたし、他の問題に対しても新しい結果を与えることになった。 しかし、リーマン積分は関数列の極限との相性が悪く、そのような極限と積分が同時にあらわれるような局面では困難な解析を必要とする場合があった。それに対して、ルベーグ積分においては、積分記号のもとでの極限がより扱いやすくなっている。ルベーグ積分では、リーマンとは異なる形の「簡単に計算できる積分」を考えており、このことがルベーグ積分がリーマン積分よりよく振舞う理由となっている。さらに、ルベーグ積分ではリーマン積分より広い種類の関数に対して積分を定義することが可能になっている。例えば、無理数で 0 を有理数で 1 をとる関数（ディリクレの関数）はリーマン積分では積分が定義されないが、ルベーグ積分では積分できる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「ルベーグ積分」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Lebesgue integration 」があります。 スポンサード リンク
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