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数学では、特に代数幾何学や代数トポロジーでは、レフシェッツの超平面定理(Lefschetz hyperplane theorem)は、代数多様体の形と部分多様体の形の間のある関係についてのステートメントであり、この定理は、射影空間に埋め込まれた多様体 X と(hyperplane section) Y に対し、X のホモロジー、コホモロジー、ホモトピー群は、Y のそれらをも決定するという定理である。この種類の結果は、最初に複素代数多様体のホモロジー群に対し、ソロモン・レフシェッツ(Solomon Lefschetz)により言明された。同様の結果が、正の標数でも、他のホモロジー、コホモロジー理論で、ホモトピー群に対して発見されている。なお、レフシェッツ超平面定理のことを弱レフシェッツ定理(Weak Lefschetz Theorem)とも言う。 == 複素射影多様体のレフシェッツ超平面定理 == X を CPN 内の n 次元複素射影代数多様体とし、Y を U = X ∖ Y が滑らかなであるような X の超平面切断とする。 レフシェッツの定理は、次のステートメントがどれも成り立つという定理である。 # 特異ホモロジーの自然な写像 Hk(Y, Z) → Hk(X, Z) は、k < n − 1 に対しては同型であり、k = n − 1 に対しては全射である。 # 特異コホモロジーの自然な写像 Hk(X, Z) → Hk(Y, Z) は、k < n − 1 に対しては同型であり、k = n − 1 に対しては単射である。 # 自然な写像 πk(Y, Z) → πk(X, Z) は、k < n − 1 に対しては同型であり、k = n − 1 に対しては全射である。 長完全系列を用い、これらのステートメントの各々がある相対不変量の消滅定理に同値であることを示すことができる。このための消滅定理は順に以下である。 # 相対特異ホモロジー群 Hk(X, Y, Z) は、 に対して 0 である。 # 相対特異コホモロジー群 Hk(X, Y, Z) は、 に対して 0 である。 # 相対ホモトピー群 πk(X, Y) は、 に対して 0 である。
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