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数学、とくに抽象代数学における単系（たんけい、; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。 モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。 モノイドの歴史や、モノイドに一般的な性質を付加した議論などは半群の項に譲る。 == 定義 == 集合 ''S'' とその上の二項演算 • : S × S → S が与えられたとき、組 (''S'', • ) が以下の条件を満たすならば、これを モノイド という。 ; 結合律: ''S'' の任意の元 ''a'', ''b'', ''c'' に対して、(''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'') ; 単位元の存在: ''S'' の元 ''e'' が存在して、''S'' の任意の元 ''a'' に対して ''e'' • ''a'' = ''a'' • ''e'' = ''a'' 二項演算の結果 ''a'' • ''b'' を ''a'' と ''b'' の積〔用語を流用しているだけで積の項で扱われている意味での「積」とは無関係であることに注意。特にここでいう「積」は和を繰り返したもの（反復和）の意味ではないので、和が定義されている必要も無い。〕と呼ぶ。手短に述べれば、モノイドとは単位元を持つ半群のことである。モノイドに各元の可逆性を課せば、群が得られる。逆に任意の群はモノイドである。 二項演算の記号は省略されることが多く、たとえば先ほどの公理に現れる等式は (''ab'')''c'' = ''a''(''bc''), ''ea'' = ''ae'' = ''a'' と書かれる。本項でも明示する理由がない限り二項演算の記号を省略する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「モノイド」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Monoid 」があります。 スポンサード リンク
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