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一様連続(いちようれんぞく、)は数学における関数に対する概念で、通常の連続性の概念を強めたものである。大雑把に言って、関数の連続性とは引数 ''x'' の変化が小さいと関数値 ''f''(''x'') の変化も小さい事を指すが、このとき ''f''(''x'') の変化の度合いが ''x'' の変化の度合いにのみ依存し、''x'' の値自身にはよらなければ ''f'' は一様連続であるという。 すなわち一様連続性とは、''f'' の定義域において ''x'' と ''y'' が十分近いことを要求するだけで( ''x'' の値によらず)、''f''(''x'') と ''f''(''y'') が近い値をとることを保証していることを言う。 定義より一様連続な関数は連続であるが、逆は一般には成り立たない。 しかし定義域が有界閉区間であれば、その区間上連続な関数は一様連続である事が知られている(ハイネ・カントールの定理)。 一様連続性の定義はユークリッド空間や、それを一般化した概念である距離空間において定義される。 さらに一般に一様空間上でも定義可能である。 == 定義 == 以下では距離空間における定義を述べるが、ユークリッド空間における定義は、以下の ''X'', ''Y'' をそれぞれ R''n'', R''m'' に読み替え、''d''''X'', ''d''''Y'' をそれぞれ R''n'', R''m'' 上の距離に読み替えればよい。 ;定義 を距離空間とするとき、関数 が一様連続であるとは、''f'' が以下の性質を満たす事を言う: : ; 性質 * ''f'' : ''X'' → ''Y'' が一様連続であれば連続であるが、この逆は一般に成り立たない。例えば、二乗する演算 や逆数を取る演算 は定義域で連続であるが、一様連続ではない。 * ''f'' : ''X'' → ''Y''、''g'' : ''Y'' → ''Z'' が共に一様連続ならば、その合成写像 ''g'' ∘ ''f'' : ''X'' → ''Z'' も一様連続である。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア(Wikipedia)』 ■ウィキペディアで「一様連続」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Uniform continuity 」があります。 スポンサード リンク
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