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一般カッツ・ムーディー代数(generalized Kac–Moody algebra)は、虚数の(simple root)を持つこと以外には、カッツ・ムーディー代数と同じである。一般カッツ・ムーディー代数は、ときにGKM代数(GKM algebras)とか、ボーチャーズ・カッツ・ムーディー代数(Borcherds–Kac–Moody algebras)とか、BKM代数(BKM algebras)とか、ボーチャーズ代数(Borcherds algebras)とかと呼ばれることがある。最もよく知られている例は、(monster Lie algebra)である。 == 動機 == 有限次元半単純リー代数は次の性質を持つ。 * 非退化な不変対称双線型形式 (,) を持つ。 * 次数 0 の部分（(Cartan subalgebra)）が可換であるような次数付きである。 * （カルタンの）対合 w を持っている。. * a が 0 でなければ、(a, w(a)) は正である。 たとえば、トレースが 0 の n × n 行列の代数に対し、双線型形式は、(a, b) = Trace(ab) であり、カルタンの対合はマイナスの変換で与えられ、次数は対角行列からに差異により与えられ、カルタン部分代数は対角要素である。 逆に、すべてのリー代数をこれらの性質（と、いくつかの技術的条件を満たすこと）から見つけることができる。答えは、有限次元リー代数とアフィンリー代数の和である。 (monster Lie algebra)は、上記の条件よりも少し弱い条件を満たす。a が 0 でないとき、(a, w(a)) が正であり、a が次数 0 のときには負となることがあるという条件である。これらの弱い条件を満たすリー代数は、多かれ少なかれ一般カッツ・ムーディ代数である。それらは、本質的には（以下に述べる）生成子と関係式を与えられた代数と同じである。 非公式には、一般カッツ・ムーディ代数は有限次元の半単純リー代数のような振る舞いをするリー代数である。特に、(Weyl group)や(Weyl character formula)や、(Cartan subalgebra)、ルート、ウェイト、などを持っている。
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