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数学において、主束（しゅそく、）は、枠束を抽象化した概念である。 ここで枠束（）とは、ファイバー束であって、任意の一点上のファイバー（繊維）が、あるベクトル空間における並び順の付いた基底全体の集合からなるものである。 主束は、構造群と呼ばれるある与えられた群 ''G'' により、ファイバーが ''G'' の主等質空間（英：principal homogeneous space）（''G'' が自由かつ推移的に作用する集合のこと。''G''-トルソ（英：''G''-torsor）ともいう）になるものとして特徴付けられる。 これは、一般枠束におけるベクトル空間の全基底に対する一般線型群の作用を一般化したものである。 さらに、主 ''G'' 束（しゅ G そく、）とは、ファイバー束であって、全てのファイバーが位相群 ''G'' の群の作用により主等質空間になるものをいう。 主 ''G'' 束は、群 ''G'' が束の構造群にもなるという意味で、''G'' 束である。 主束は、位相幾何学および微分幾何学で重要な応用を有する。 主束は物理においても、ゲージ理論の根本的枠組みの一部を構成するという応用を見出した。 構造群 ''G'' を有するすべてのファイバー束は、一意に主 ''G'' 束を決定し、この主束により元の束が再構成できるという意味で、主束は、ファイバー束の理論に統一的枠組みを与える。 == 定義 == 主 ''G'' 束とは、ファイバー束 ''π'' : ''P'' → ''X'' と、位相群 ''G'' による連続の右作用 ''P'' × ''G'' → ''P'' を合わせた概念であって、''G'' が ''P'' のファイバーを保存し、その上に自由かつ推移的に作用するもののことをいう。 主束の抽象ファイバーは、''G'' 自身である。 （場合により、底空間 ''X'' にハウスドルフ空間であることを要求し、時としてパラコンパクトであることも要求することがある。） ''G'' の作用による軌道は、''π'' : ''P'' → ''X'' のファイバーに完全に一致し、軌道空間 ''P''/''G'' は底空間 ''X'' と同相である。 ''G'' の主等質空間は、''G'' に同相な空間だが、単位元として適切な、あるいは自然な選択がないため、群の構造を欠く。 主 ''G'' 束はまた、ファイバー ''G'' を有する ''G'' 束 ''π'' : ''P'' → ''X'' であって、構造群 ''G'' がファイバーに左乗法により作用するものということができる。 ファイバーに対する ''G'' の右乗法は、構造群の作用と可換なため、''P'' の上への ''G'' の右乗法の不変な概念が存在する。 従って、''π'' のファイバーは、この作用に関し、''G'' の右主等質空間になる。 主 ''G'' 束は、滑らかな多様体の圏として定義することもできる。 ここで、''π'' : ''P'' → ''X'' は、滑らかな多様体間の滑らかな写像、''G'' はリー群、対応する ''P'' の上への作用は滑らかであることが要件となる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「主束」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Principal bundle 」があります。 スポンサード リンク
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