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非可換環論における交代環（こうたいかん、）あるいは交代多元環（こうたいたげんかん、; 交代代数）は、必ずしも結合的でない乗法を持つ体上の多元環（分配多元環）であって、特に任意の元 に対し * 左交代性: * 右交代性: を満たすという意味で交代性を持つものをいう。 任意の結合多元環は明らかに交代的だが、八元数環のように厳密に非結合的な交代代数もたくさんある。他方、十六元数環のように交代的ですらないものもある。 == 結合子の交代性 == 交代多元環の名称における「交代的」というのは、実際にはその任意のが多重線型形式として交代的 (alternating form) であることを示唆してのものである。ここで、結合子とは : として与えられる三重線型形式をいう。また、重線型形式が交代的とは、その引数の任意の二つが一致するときは必ず になることをいう〔引数の任意の二つを入れ替えると符号が変わる ((−1)-倍される) という性質のことを「交代性」と呼んでいる文献もあるが、一般にそれは「歪対称性」(skew-symmetric) あるいは「反対称性」(anti-symmetric) と呼ばれる性質である。多くの文脈では同じ概念を指すことになるため混同しても影響のないこともあるが、特に標数 の体も含めて考える場合には注意すべきである〕。実際、冒頭に挙げた乗法の左および右交代性を示す等式は、結合子を用いて : 結合子の左交代性: : 結合子の右交代性: と書きなおすことができる〔Schafer (1995) p.27〕。またこの二つの式から結合子が (totally skew-symmetric)、即ち任意の置換 に対して : を満たすことが示せる。またこれより任意の に対して : 即ち、 : を満たすことが分かる〔Schafer (1995) p.28〕。 さて以上により、交代代数の結合子は交代的であり、逆に結合子が交代的な任意の多元環は交代代数であることがわかる。また条件の対称性を考えれば、以下の三条件 * 左交代性: * 右交代性: * 柔軟性: のうちの任意の二つを満足する多元環は、従って残りの一つも同時に満足して、交代代数であることが確認できる。 交代的結合子は常に完全歪対称であるが、逆は係数体の標数が でない限りにおいて正しい。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「交代代数」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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