翻訳と辞書 Words near each other ・ 代数 ・ 代数のテンソル積 ・ 代数の直和 ・ 代数データ型 ・ 代数トポロジー ・ 代数ベクトル ・ 代数・幾何 ・ 代数体 ・ 代数函数 ・ 代数函数体 ・ 代数多様体 ・ 代数多様体の函数体 ・ 代数多様体の射 ・ 代数多様体の正則点 ・ 代数多様体の特異点 ・ 代数多様体の関数体 ・ 代数学 ・ 代数学の基本定理 ・ 代数学賞 ・ 代数幾何 Dictionary Lists mini英和辞書 mini和英辞書 Webster 1913 Latin-English FOLDOC Wikipedia English ウィキペディア

翻訳と辞書　辞書検索 [ 開発暫定版 ] スポンサード リンク 代数多様体 ： ミニ英和和英辞書 代数多様体[だいすうたようたい] ===================================== 〔語彙分解〕的な部分一致の検索結果は以下の通りです。 ・ 代 ： [よ, しろ] 　【名詞】 1. world　2. society　3. age　4. generation　 ・ 代数 ： [だいすう] 　(n) algebra ・ 数 ： [すう, かず] 　 1. (n,n-suf) number　2. figure　 ・ 数多 ： [あまた, かずおおい, すうた] 　 1. (adj-na,adv,n) many　2. a lot　3. much　4. multitude ・ 多 ： [た] 　 1. (n,pref) multi-　 ・ 多様 ： [たよう] 　 1. (adj-na,n) diversity　2. variety　 ・ 様 ： [よう] 　 1. (adj-na,n-adv,n) way　2. manner　3. kind　4. sort　5. appearance　6. like　7. such as　8. so as to　9. in order to　10. so that　1 1. yang　1 ・ 様体 ： [ようたい] 　【名詞】 1. appearance　2. condition 代数多様体 ： ウィキペディア日本語版 代数多様体[だいすうたようたい] 代数多様体（だいすうたようたい、algebraic variety）は、最も簡略に言えば、多変数の連立多項式系の解集合として定義される図形と述べる事が出来る。代数幾何学の最も主要な研究対象であり、デカルトによる座標平面上の解析幾何学の導入以来、多くの数学者が研究してきた数学的対象である。主にイタリア学派による射影幾何学的代数多様体、代数関数論およびその高次元化に当たるザリスキおよびヴェイユによる付値論的抽象代数多様体などの基礎付けがあたえられたが、20世紀後半以降はより多様体論的な観点に立脚したスキーム論による基礎付けを用いるのが通常である。 本項では、スキーム論的な観点に立ちつつ、スキーム論を直接用いず代数多様体を定義しその性質について述べる。また議論を簡潔にするのため特に断らない限り体 ''k'' は代数的閉体であると仮定する（体 ''k'' が代数的閉であるという条件を除去するために必要な考察についてはスキーム論へ向けてを参照）。 ==概説== 最も初等的に定義される代数多様体はアフィン代数多様体である。代数的閉体 ''k'' 上の ''n'' 次元のアフィン空間 $\backslash mathbb\; A^n\_k$ をここでは、ベクトル空間 ''kn'' の点全体とする。''k'' を係数にもつ有限個の ''n'' 変数多項式系 f = (''fi''(''x''1, ..., ''xn'') | ''i'' = 1, 2, ..., ''r'') に対して、それが定める''アフィン代数的集合'' ''V''(f) を :$V(\backslash mathbf\; f)=\backslash$ で定義する。アフィン代数的集合 ''V'' が ''V'' に真に含まれるアフィン代数的集合の和集合として書けないとき、''V'' は既約であるといい、既約なアフィン代数的集合をアフィン代数多様体という。 ''k'' を実数体 R や複素数体 C とした場合、アフィン空間はユークリッド空間になるので、アフィン代数多様体はその閉集合となり、普通の意味での位相空間となる。平面 $\backslash mathbb\; A^2\_$ 上、１つの多項式 ''F''(''x''1, ''x''2) で定義されたアフィン代数多様体を''平面曲線''というが、平面曲線は微分が消えていない点のまわりでは通常の意味での多様体（C 上ならばリーマン面）になっている（陰関数定理）。しかし、この位相空間は一般にコンパクトにならない。平面曲線の場合、方程式 ''f''(''x''1, ''x''2) = 0 から定まる代数関数 は、解析接続およびリーマンの除去可能特異点定理により、この平面曲線から有限個の点（特異点）を取り除きコンパクト化したリーマン面 ''S'' 上の有理型関数としてとらえられ、代数関数全体のなす体、つまり1変数の有理関数体の ''f'' による拡大体 ''K'' = C(''x''1)/(''f'') は、このコンパクトリーマン面 ''S'' の有理型関数全体のなす体 ''M''(''S'') と自然に同形になる。更に、コンパクトなリーマン面 ''S'' の同型類はその上の有理型関数体 ''M''(''S'') と1対1に対応している。 この代数関数論から、より高次元の代数多様体を考えるにあたっては代数多様体としてはコンパクトなものを考え、その上の関数としては有理型関数あるいはコンパクトなもの同士の間の正則写像を考えると都合が良い、という教訓が得られる。この要請を満たす代数多様体は射影空間の中で定義される射影代数多様体として実現できる〔代数関数論の方法を高次元の射影代数多様体（特に曲面）の理論に適用させつつ代数幾何を進展させようと試みている20世紀前半の雰囲気は例えば参考文献 Zarski などに良く現れている。〕。 体 ''k'' 上の射影空間 $\backslash mathbb^n\_k$ は ''n'' + 1 個の ''k'' の元の比 : ''a''1 : ... : ''an'' 全体の集合である。斉次多項式（含まれる単項式の次数が全て同じ）''F''(''x''0 , ''x''1, ..., ''xn'') はその次数が ''d'' なら、0 でない定数 ''t'' に対して、''F''(''t.x''0, ''t.x''1, ..., ''t.xn'') = ''td''. ''F''(''x''0, ''x''1, ..., ''xn'') となるので、射影空間の点 : ''a''1 : ... : ''an'' に対して、''F''(''a''0, ''a''1, ..., ''an'') = 0 となるかどうかは点を表す斉次座標の表示の仕方（定数倍の差異）に拠らずに定まっている。そこで、有限個の (''n'' + 1)-変数斉次多項式系 F = (''Fi'' | ''i'' = 0, ..., ''r'') に対して射影代数的集合 ''Vh''(F) を :$V\_h(\backslash mathbf\; F)=\backslash$ で定義できる。アフィン代数多様体の場合と同様に、真に含まれる射影代数的集合の和として書けない射影代数的集合を射影代数多様体と呼ぶ。 射影代数多様体 ''X'' = ''Vh''(F) に対して、その関数体 ''k''(''X'') を、環 :$A\_0=k$x_n /(F_0(1, x_1,\ldots, x_n), \ldots, F_r(1,x_1,\ldots, x_n)) の商体として定義する〔厳密には ''X'' が超平面 ''x''0 = 0 に含まれていない場合。節関数体と有理写像参照。〕と代数関数の場合の適切な一般化になっている。 ここで、$\backslash mathbb^2\_$ に、方程式 $x\_0^2-x\_1^2-x\_2^2=0$ が定める射影代数多様体を ''X'' とすると、その関数体 C(''X'') は $\backslash mathbb(x\_1)$/(x_1^2+x_2^2-1) となる。これは対応 :$t\backslash mapsto\; (x\_1,x\_2)=\backslash left(\backslash frac,\backslash frac\backslash right)$ によって、1変数有理関数体 C(''t'') と同型になる。C(''t'') は射影直線 $\backslash mathbb^1\_$ の関数体にほかならないので、この ''X'' と $\backslash mathbb^1\_$ は本質的に同じ図形と見なされるべきである。更に $Y\backslash subset\; \backslash mathbb^2\_$ を $x\_0x\_2^2-x\_1^3-x\_0x\_1^2=0$ で定めると、関数体 C(''Y'') は $\backslash mathbb(x\_1)$/(x_2^2-x_1^3-x_1^2) で与えられるけれども対応 $t\backslash mapsto\; (x\_1,x\_2)=(t^2-1,\; t(t^2-1))$ によってこれも1変数有理関数体 C(''t'') と同型になる。 この例で、''X'' の場合は点集合として $\backslash mathbb^1\_$ と自然な1対1の対応がある〔点$$\in \mathbb^1_ に対して $$=t_0^2-t_1^2: 2t_1^2 \in X を対応させる。〕ので、「同じ」代数多様体として見なすべきである。射影代数多様体はその定義からつねに、「入れ物」の射影空間があって初めて定義されるが、多様体そのものの内在的性質を知るには入れ物によらない定義が必要である。これが、一般の代数多様体をアフィン代数多様体の貼り合わせとして定義し、それらの間の（代数的な意味での）正則同型（より一般に正則写像）を考える考え方へと導く。 一方で、''Y'' の場合は、点集合としてさえ $\backslash mathbb^1\_$ と自然な1対1対応ができないので、代数多様体として同一視する事が出来ない。このように一般に代数多様体として同一視できない（正則同型でない）2つの代数多様体が、同型な関数体を持つときがあるが、このとき、2つの代数多様体は双有理同値であるという。高次元代数幾何においてはこの双有理同値の概念は不可避でありまた非常に重要でもある。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「代数多様体」の詳細全文を読む スポンサード リンク 翻訳と辞書 : 翻訳のためのインターネットリソース Copyright(C) kotoba.ne.jp 1997-2016. All Rights Reserved.