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代数曲線（だいすうきょくせん、algebraic curve）、あるいは平面代数曲線(plane algebraic curve)は、いくつかの 2変数の多項式の値がゼロとなる点（ゼロ点）の座標が作るユークリッド平面上の点の集合である。 例えば、単位円は代数曲線であり、多項式 x2 + y2 − 1 のゼロ点の集合である。 その後、さまざまな技術的な思考方法により、多項式の複素ゼロ点が曲線になるという考えに至った。また、代数曲線の考えは、定義多項式の係数と曲線の点の座標が任意の体に属することを許すように一般化された。この考えが次のような代数曲線の定義を導いた。 代数幾何学では、体 k 上で定義された平面アフィン代数曲線(plane affine algebraic curve)とは、K を k の代数的に閉じた拡大とすると、k に係数を持つ2変数の多項式のゼロ点が作る座標であるような K2 （K×K）の点の集合のことである。k に座標を持つ曲線の点は、曲線の k-点といい、それら全部を曲線の k 部分という。 例えば、 は x2 + y2 − 1 = 0 で定義される曲線の一部である。しかし、普通の単位円はこの曲線の実部のことを言う。この「単位円」は実数の点だけではなく、すべての複素数での点を考えることで、初めて正確な意味がわかる。方程式 x2 + y2 + 1 = 0 は代数曲線を形成するが、実数部分は存在しない。 さらに一般的に、平面（複素次元 1 であり、実次元は 1 である）に含まれない代数曲線を考えることができるが、（埋め込めるユークリッド空間の）次元はもっと高くなる。平面に含まれない（埋め込むことのできない）曲線を、(skew curve)〔skew curveを歪曲線との用語を使用した。〕と呼ぶ。歪代数曲線(skew algebraic curve)の最も単純な例は、(twisted cubic)である。代数曲線は、（複素 1次元の）射影空間の中に埋め込まれていると考えることができ、射影空間への埋め込みとは異なる既にアフィン空間や射影空間に埋め込まれて定義されている代数曲線に対しても、（複素次元 1 の射影空間へ）埋め込み直すことが可能である。このことから、最も重要な代数曲線の定義を得る。 代数幾何学では、代数曲線はが 1 の代数多様体である。 == ユークリッド幾何学の中では == ユークリッド平面の中の代数曲線は、2変数の多項式の方程式 p(x, y) = 0 の解の座標である点の集合を言う。この方程式を、曲線を示唆している方程式(implicit equation)と呼ぶことがあり、一方、反対に曲線を、x の函数として明示的に y の値を表したものを函数のグラフという。 示唆している方程式により定義される曲線が与えられると、まず第一に発生する問題は、曲線の形を決定することと曲線を描くことであろう。この問題は、函数のグラフの場合のように解くことが簡単ではない。グラフを書く場合は y を x のさまざまに変わる値から計算するだけでよかったのである。しかし、定義する方程式が多項式であるということ自体は、曲線がこの問題を解く構造的な性質を持っていることを意味する。 任意の代数曲線は、一意に有限個の｢注目すべき点｣(remarkable points)と呼ばれるいくつかの点で繋がった滑らかな単調な弧（これを分岐と呼ぶ）へ分解する。滑らかな単調な弧は x-軸の開区間上で単調として定義された滑らかな函数のグラフである。それぞれの方向で、弧は、 :1) 端点を持たない非有界（無限の弧とでもいうべき）な弧か、もしくは、 :2) 端点として、特異点（以下で定義するが）か、座標軸の一つに平行に接している点を持っている弧か のどちらかである。 例えば、図の(Tschirnhausen cubic)に対し、原点 (0,0) を端点として持つ 2つの無限の弧がある。原点は曲線の唯一の特異点である。一つの端点は原点を特異点として持ち、もうひとつの端点は水平に接線を持っている 2つの弧がある。結局、これらの 2つ弧は、最初の端点として水平に接する点を持っていて、第二の端点を垂直に接する唯一の点を共有している。これとは別の話題で、サインカーブは確かに代数曲線ではない。無限個の単調な弧を持っているからである。 代数曲線を描くには、注目すべき点とそれらの接線や無限個の分岐やそれらの漸近線を知ることとが重要で、（もしできるならば）弧と漸近線を結び付ける方法も重要である。注目すべき点として変曲点を考えることも有益である。これらすべての情報が一枚のシートに描かれると、曲線の形が明らかとなる。そこまで充分な情報がなくとも、曲線の記述するには、いくつか点と接線を考えに加えれば充分である。 注目すべき点とその接線を計算する方法は、下の射影曲線に記載する。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「代数曲線」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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