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数学において代数的構造（だいすうてきこうぞう、algebraic structure）とは、集合に定まっている算法（演算ともいう）や作用によって決まる構造のことである。代数的構造の概念は、数学全体を少数の概念のみを用いて見通しよく記述するためにブルバキによって導入された。 また、代数的構造を持つ集合は代数系（だいすうけい、algebraic system）であるといわれる。すなわち、代数系というのは、集合 ''A'' とそこでの算法（演算の規則）の族 ''R'' の組 (''A'', ''R'') のことを指す。逆に、具体的なさまざまな代数系から、それらが共通してもつ原理的な性質を抽出して抽象化・公理化したものが、代数的構造と呼ばれるのである。 なお、分野（あるいは人）によっては代数系そのもの、あるいは代数系のもつ算法族のことを代数的構造とよぶこともあるようである。 後者は、代数系の代数構造とも呼ばれる。 現代では、代数学とは代数系を研究する学問のことであると捉えられている。 == 代数的構造の例 == * 一つの演算によって決まる代数的構造〔用語についてはいくつか表記ゆれが存在する。たとえば、マグマを亜群 (groupoid) と呼ぶ流儀もあるが、別な意味で亜群と呼ばれる概念もあるので注意。半群 (semigroup) を準群と訳す流儀もあるが、quasigroup を準群と訳し、擬群という語を pseudogroup に充てる流儀もある。ループを擬群と訳すものもある。〕 * マグマ: 一つの二項演算の定義された集合。 * 擬群 (quasi-group): ''a'' × ''x'' = ''c'' であるような ''x'' が一意に決まるマグマ * Loop: 単位元 ''e'' を持つ擬群。したがって、任意の元が逆元を持つマグマとも言える。 * 半群: 結合法則を満たすマグマ * モノイド: 単位元を持つ半群 * 群: 任意の元が逆元を持つモノイド、もしくは結合法則を満たすLoop * アーベル群: 可換な群 * 二つの演算によって決まる代数的構造 * 環: 加法に関してアーベル群であり、乗法に関して半群（またはモノイド）であり、分配法則を満たす。 * 体: 0 でない元が乗法に関して群（またはアーベル群）をなす環 * 演算と作用によって決まる構造 * 環上の加群: 環の作用するアーベル群 * ベクトル空間: 体上の加群 * 算法や二項演算の項に記す通り、加群やベクトル空間などにいて環や体が与える外部的な作用も適当な方法で内部的な 1 項算法（単項算法）と捉えなおすことができるので、加群やベクトル空間やほかにも同様に作用域を持つ構造である多元環などが、群や環と同様のもの（多くの演算によって決まる構造）として統一的に論ずることもできる。 * さらに複雑なもの * 代数（多元環）: 乗法の定義された加群やベクトル空間 * 結合代数: 乗法が結合法則を満たす代数 * 可換代数: 乗法が可換な結合代数 * 束: 二つの演算が定義されている集合で、演算が冪等で可換で結合的で簡約律（吸収律）を満たすもの。これは順序的構造から定義することもできる。 一般的な代数的構造は普遍代数という数学の分野で研究される。代数的構造はまた、ほかの構造に加えて定義されることもある。位相構造をもつ位相群、位相線型空間、リー群はそのような例である。 どの構造も、それぞれに固有の準同型を持っている。このことを使って、それぞれの構造を満たすもの全体の圏を考えることができる。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「代数的構造」の詳細全文を読む 英語版ウィキペディアに対照対訳語「 Algebraic structure 」があります。 スポンサード リンク
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