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体論において、可換体 ''K'' の拡大体 ''L'' の元は、''K'' 係数の 0 でない多項式 が存在してその根となっているときに、''K'' 上代数的であると言う。''K'' 上代数的でない元は ''K'' 上超越的であると言う。 これは代数的数と超越数の概念の一般化である。代数的数は有理数体 Q の拡大体 C の元であって、Q 上代数的な複素数である。したがって は Q 上代数的な実数であって、自然対数の底 ''e'' や円周率πは Q 上超越的な実数である。Q 上超越的な複素数は存在するが、すべての複素数 ''a''+''b''i は実数体 R 上代数的である。なぜなら (''X'' - ''a'')2+''b''2 の根だからである。 == 特徴づけ == ''K'' のすべての元 ''a'' は明らかに ''K'' 上代数的である、なぜならば ''X'' - ''a'' の根だからだ。より一般に、 * ''K'' の有限次拡大体のすべての元 ''a'' は ''K'' 上代数的である。 実際、''K'' の有限次（''n'' 次としよう）拡大は ''K'' 上有限次元のベクトル空間である。したがって 1, ''a'', ''a''2, ..., ''a''''n'' の間には線型独立な関係があり、''a'' を根に持つ多項式が得られる。 代数的あるいは超越的な元という概念を、''K'' と ''a'' を含む ''L'' の最小の部分環である ''K'' を使って特徴づけることができる。環 ''K'' の元は ''a'' の多項式として書ける ''L'' の元である。すなわち ''K'' は多項式環 ''K'' の ''X'' を ''a'' に写す環準同型 φ による像である。この準同型が単射でないことと多項式が ''a'' で消えることは同値である。また、''a'' が ''K'' の多項式の根であれば、''a'' は ''K'' がであるような既約多項式（前の多項式の因数）の根である。まとめると * 元 ''a'' が ''K'' 上超越的であることと、''K'' と ''K'' が同型である（同型は φ によって与えられる）ことは同値である。 * 元 ''a'' が ''K'' 上代数的であることと、''K'' が体であることは同値である。 ''K''(''a'') を、''a'' を含む ''L'' の最小の部分体とする（''K''(''a'') の元は ''a'' の有理式として書けるような ''L'' の元である）。これによって再び定式化することができる。 * 元 ''a'' が ''K'' 上代数的であることと ''K''(''a'') = ''K'' であることは同値である。 * 元 ''a'' が ''K'' 上代数的であることと ''K'' の拡大 ''K''(''a'') が有限次拡大であることは同値である。 （したがって1つ目の性質から、''K'' 上代数的な任意の元は ''K'' の有限次拡大の元である）。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「代数的な元」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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